Основание тетраэдра DABC треугольник со сторонами 13 см,14 см, 15 см. Расстояние от точки D до сторон треугольника основания равны 5 см. Найти расстояние от точки D до плоскости АВС

Решение.
Расстояние от вершины до плоскости основания равно высоте, которая опущена из вершины на основание.
Величины апофемы пирамиды равны по условию задачи. Таким образом, прямоугольные треугольники, образованные высотой пирамиды, апофемой и отрезком, соединяющим высоту и точку касания апофемы и основания - равны. Откуда - высота, опущенная из вершины - является центром вписанной в основание окружности.

Найдем радиус вписанной в основание окружности. Формула радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник:
Формула вписанной окружности

p = ( 13 + 14 + 15 ) / 2 = 21
r = 4

Таким образом, расстояние от точки D до плоскости основания равно длине высоты, опущенной из вершины на основание. По теореме Пифагора:

52 = h2 + 42
h2 = 25 - 16
h2 = 9
h = 3

Ответ: 3 см.