Докажите что 6^n+20n-1 делится на 25 для любого натурального n

Воспользуемся методом индукции: 1) при n=1: 6+20-1=25 - делится. 2) пусть при n=k - делится. 3) надо доказать, что при n=k+1 тоже делится. подставляем вместо n k+1: 6^(k+1) + 20(k+1) -1 = 6*6^k + 20k + 20 - 1 = (вычетом и прибавим 6^k) 6*6^k + 20k + 20 - 1+ 6^k - 6^k = (сгруппируем слагаемые следующим образом) (6^k + 20k - 1) + ( 6*6^k + 20 - 6^k). (6^k + 20k - 1) - делится на 25 по второму пункту. осталось доказать, что ( 6*6^k + 20 - 6^k) тоже делится на 25. 6*6^k + 20 - 6^k = 6^k * (6 - 1) + 20 = 5 * 6^k + 20 = 5 * (6^k+4). т. к. (6^k+4) делится на 5 для любого натурального k, то утверждение доказано.

Если предположить, что в поселке живет 100 человек, то уберем бездельников и получим 83 человека (это сумма тех, кто работает и учится). из условия видно, что 46 человек учится и 64 человека работает.46+64=110, но жителей то всего 100. значит 110-83=27. 27 человек одновременно учатся и работают.