Докажите, что число 1+1/2+1/3+...+1/m не целое

Пусть сумма ряда :

Предположим, что число - целое число и

Найдем среди чисел от 1 до m наибольшую степень двойки, то есть такую, что : , где - натуральное число.

Умножим обе части равенства на :

Поскольку число имеет максимальную степень двойки для чисел от 1 по m, то все степени двоек входящие в разложение на простые множители чисел от 1 по m, если таковые существуют, сократятся c числителем

- натуральное нечетное число.

Приведем все дроби к наименьшему общему знаменателю, но поскольку,  наименьший общий знаменатель нечетных чисел число нечетное, а все числители четные, то левая часть равенства будет выглядить так :   , где - четное число, - нечетное число.

Целое число:     является нечетным при .

Тогда :  произведение двух нечетных числе число нечетное, но число - четное .

То есть мы пришли к противоречию, а значит число - нецелое.

Если же , то - целое число.

Примечание: данное доказательство работает не только для данного ряда, но и  для любого упорядоченного ряда вида :

, если в этом ряду существует число вида ,где - простое, не делится на , причем в разложении на простые множители каждого из чисел от до  содержится не более чем - я cтепень числа , за исключением самого числа .  То есть умножаем обе части на и также рассуждаем про делимость на .

5cos^2(x)-3sin^2(x)-sin(2x)=2(cos^2(x)+sin^2(x))                                                                                            5cos^2(x)-3sin^2(x)-sin(2x)-2cos^2(x)-sin^2(x)=0                                                                                                                                  3cos^2(x)-5sin^2(x)-2sin(x)cos(x)=0   делим обе часть уравнения на cos^2(x)     3-5tg^2(x)-2tg(x)=0  назначим tg(x)=у                                                               -5у^2-2у+3=0   решаем квадратное уравнение      у1=-1 у2=3/5 . вернемся к tg(x)=y   tg(x)=-1  x1=-пи/4+(пи)к       tg(x)=3/5   х2=arctg(3/5)+(пи)к

vтечения реки - х км/ч

расстояние:     скорость           время:

по теч   45 км             12+х км/ч         45/(12+х)ч

пр теч   45км               12-х км/ч           45/(12-х)ч

получается уравнение:

45/(12+х)+  45/(12-х)=8

540-45х+540+45х=1152-8х^2

-8х^2+1152-540+45х-540-45х=0

-8х^2+72=0| /(-8)

x^2-9=0

x^2=9

x=3