[tex]q\sin \alpha+q^2\sin2\alpha++q^n\sin n\alpha+/tex]
[tex]q\cos \alpha+q^2\cos2\alpha++q^n\cos n\alpha+/tex], |q|< 1
пусть [tex]a_n[/tex] и [tex]b_n[/tex] - последовательности частичных сумм первого и второго, соответственного и a , b - их суммы.
по формуле эйлера [tex]e^{i\phi}=\cos \phi +i\sin \phi[/tex] , мы получим
[tex]a_n+ib_n=qe^{i\alpha}+q^2e^{2i\alpha}++q^ne^{i\alpha}=\dfrac{qe^{i\alpha}}{1-qe^{i\alpha}}~~\boxed{=}[/tex]
здесь в этом случае бесконечно убывающая прогрессия.
преобразовывая в тригонометрическую форму по формуле эйлера, мы получим
[tex]\boxed{=}~q\left(\dfrac{\cos\alpha -q}{1-2q\cos\alpha+q^2}+i\dfrac{q\sin\alpha}{1-2q\cos\alpha+q^2}\right)[/tex]
откуда искомая сумма ряда [tex]a=q\cdot\dfrac{\cos\alpha -q}{1-2q\cos\alpha+q^2}[/tex]
Популярные вопросы