Постройте график уравнения | y | = | x^2 + 4x |

данный график - парабола x²+4x (изображение 1), часть при y< 0 которой перевернута относительно оси абсцисс (изображение 2), а потом полностью отзеркаленная вниз (изображение 3).

таблица точек прилагается.

раскроем модуль по определению:

для у < 0: -у = |x^2 + 4x|

для у ≥ 0: у = |x^2 + 4x|

теперь про для икс два корня: (-4) и ( промежутка

для у < 0 и х ∈ (-∞; -4]u[0; +∞) т.е. под модулем выражение неотрицательное : -у = x^2 + 4x > y = -x^2 - 4x (красный цвет)

для у < 0 и х ∈ (-4; 0) т.е. под модулем выражение отрицательное : -у = -x^2 - 4x > y = x^2 + 4x (зеленый цвет)

для у ≥ 0 и х ∈ (-∞; -4]u[0; +∞) т.е. под модулем выражение неотрицательное : у = x^2 + 4x (фиолетовый цвет)

для у ≥ 0 и х ∈ (-4; 0) т.е. под модулем выражение отрицательное : y = -x^2 - 4x (желтый цвет) и все вместе--это график данного

если вписать квадрат в окуржность, то его диагональ будет диаметром этой окружности (угол опирающийся на диаметр - прямой). таким образом длина диагонали квадрата вписанного в окружность: , где a - сторона квадрата. так как диагональ есть диаметр то она равна двум радиусам: . тогда выразим длину стороны квадрата:

если вписать окружность в квадрат, то ее радиус будет равен половине стороны квадрата: . подставив предыдущую формулу в данную, получим: .

таким образом мы получили бесконечно убывающую прогрессию радиусов окружностей. первый элемент , знаменатель прогресии .

сумма всех радиусов равна .

тогда сумма длин всех окружностей:

область определения вся числовая прямая, т.е. (-∞; +∞)