Допустим, что есть какая-то функция. как определить, при каких значениях k прямая y=kх имеет с графиком ровно одну общую точку?

Ну такое только с квадратичными функциями: функцию приравниваешь к кх к примеру: х^2+4=kx находишь k через дискриминант: k^2-16=+ и -4 потом несешь значение к в функцию kx : y=4x и -4х

Чтобы найти точки пересечения функции, например f(x)  и g(x)=kx их нужно приравнять. f(x) = g(x) f(x) = kx потом в зависимости от получившегося уравнения решать его так, чтобы переменная x имела 1 решение. 

12+8=20км/ч скорость удаления,

60/20=3часа расстояние между ними будет 60 км.