Найдите значение sinx и ctgx, зная, что cosx=8/17 и 3п/2

1)из основного тригонометрического тождества выразим квадрат синуса:

sin²x + cos²x = 1

sin²x = 1 - cos²x

sin²x = 1 - 64/289

sin²x = 225/289

sin x = 15/17      или          sin x = -15/17

по условию у нас угол относится к 4 четверти, где синус отрицателен. значит,

sin x = -15/17

2)ctg x = cos x / sin x

 

ctg x = 8/17 : (-15/17) = -8/15

cosx=8/17

по сновному тригонометрическуму тождеству cos²x+sin²x=1

отсюда sin²x=1 - 8²/17²

sin²x=1 - 64/289

sin²x=225/289

sinx=±15/17

т.к. 3π/2< х< 2π, то эта точка находится в iv четверти и sinx< 0

sinx=-15/17

ctgx=cosx/sinx

ctgx=8/17: (-15/17)=-8/15

x=7+5y( и все это разделить на 3)

а=4

Решение: рассмотрим функцию f(x)=sin x-x*cos(x) на промежутке [0; pi\2]. она непрерывна на этом промежутке и для каждого х из этого промежутка существует проиводная. ищем проиводную: f’(x)=cos x-cos x+x*sin x=x*sin x f’(x)> 0 на промежутке (0; pi\2),значит f(x) возрастает на (0; pi\2), f(0)=sin 0+0*cos 0=0 f(0)=0 значит при х є (0; pi\2) f(x)> f(0)=0 или sin x-x*cos(x)> 0, то есть sinx> xcosx, что и требовалось доказать.