Орешении треугольников. x. косоугольные треугольники. § 97. соотношения между элементами косоугольного треугольника. начнем с соотношения между углами треугольника: а + в + с = 180°. заметим некоторые следствия из него. а) так как сумма значений а и в + с равна 180°, то синусы их равны, а косинусы различаются знаками; поэтому sin (b + c) = sin a; cos (b+c)= — cos a; cos a = — cos {в + с). точно так же: tg ( b+ c ) = — tg a. б) так как сумма значений и равна 90°, то сходные функции их соответственно равны (§ 17); например: sin = cos ; sin = cos и т. д. в) полезно запомнить еще следующие соотношения между угламя треугольника: l) sin a + sin b + sin с = 4 cos • cos • cos 2) tg a + tg b+ tg c = tg a • tg b • tg c; 3) ctg + ctg + ctg = ctg • ctg • ctg . вывод этих формул предоставляется учащемуся. § 98. лемма. во всяким треугольнике сторона равна диаметру описанного круга, умноженному на синус противолежащего угла. обозначая радиус описанного круга через r, докажем, например, что а = 2r • sin a, где угол а есть острый или тупой. доказательство. 1) угол а острый (черт. 41). в oписанном круге из конца данной стороны проведем диаметр и соединим другие концы этой стороны и диаметра; получим прямоугольный треугольник. на чертеже 41 таким треугольником будет bdc; из него, на основании § 21, находим: bc = bd • sin d, или a = 2r• sin d; нo / d = / а1); следовательно, a = 2r• sin a. 1) тот и другой измеряются половиной дуги вс. 2) угол а тупой. сделаем такое же построение, как раньше. из прямоугольного треугольника все (черт. 42) найдем: a = 2r• sin e; но е + а = 180°, следовательно sin e = sin a, поэтому a = 2r• sin a. итак, вообще: a = 2r• sin a; b = 2r• sin b; c = 2r• sin c. § 99. теорема. во всяком треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов. требуется доказать, что: a/sin a = b/sin b = c/sin c доказательство. по § 98 для всякого треугольника как остроугольного, так и тупоугольного имеем: a = 2r• sin a; b = 2r• sin b; c = 2r• sin c. отсюда находим: 2r = a/sin a ; 2r = b/sin b ; 2r = c/sin c , следовательно: a/sin a = b/sin b = c/sin c = 2r. таким образом, для одного и того же треугольника частное от деления стороны на синус противолежащего угла есть величина постоянная, равная диаметру описанного круга. из соотношения a/sin a = b/sin b = c/sin c , переставляя члены пропорции, получим: a : b : c = sin a : sin b : sin с, т. е. во всяком треугольнике стороны, относятся между собой, как синусы противолежащих углов. пример. определить a : b : c, если а : в : с= 3 : 4 : 5. так как а + в + с =180°, то сначала разделим 180° в отношении 3 : 4 : 5; получим а = 45°, b = 60° и с = 75°. теперь по доказанному будем иметь: a : b : c = sin 45° : sin 60° : sin 75°. подставляя сюда _ _ sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2 и sin 75° = cos 30°/2= 1/2 получим, освободясь от знаменателей: a : b : c = √2 : √3 : . § 100. теорема. сумма двух сторон треугольника так относится к их разности, как тангенс полусуммы противолежащих углов относится к тангенсу полуразности тех же углов. доказательство. по §98 находим: a + b = 2r {sin a + sin в) и а — b = 2r (sin a — sin в); отсюда: применяя здесь ко второй части формулу (xvii) (§ 65), получим: ( a + b ) : (а — b ) = tg : tg , чем и выражается теорема. § 101. формулы мольвейде. так называются следующие две пропорции, которые содержат отношения суммы и разности двух сторон треугольника к третьей стороне: доказательство. 1) по §98: a + b = 2r (sin a + sin b) и c = 2r • sin c; отсюда преобразуем вторую часть: но sin = cos , так как + == 90°. по сокращении же дроби (b) будет окончательно: 2) таким же образом получим: § 102. теорема. квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения их на косинус угла между ними. требуется доказать, что а2 = b2 + с2 — 2bс • соs a (одинаково и в случае острого и в случае тупого; доказательство. 1) если угол а острый, то на основании теоремы о квадрате стороны, лежащей против острого угла, имеем (черт. 43): а2 = b2 + с2 — 2b • ad, но из прямоугольного треугольника abd можно заменить ad через с • cos a; тогда получим: а2 = b2 + с2 — 2bс • соs a. 2) если угол a тупой, то применяем теорему о квадрате стороны против тупого угла треугольника (черт. 44). получаем а2 = b2 + с2 + 2b • ae. из треугольника abc находим: ae = с • соs α, но так как α = / bae = 180° — а, то cos α = cos (180° — а) = — cos a, поэтому ае = — с • cos a. подставляя это выражение в формулу, получим: а2 = b2 + с2 — 2bс • соs a, т, е. то же самое, что и в первом случае.
Спасибо
Популярные вопросы