Вкубе аbcda1b1c1d1 найдите синус угла между прямой a1d1 и плоскостью acb1

1. поскольку a1d1 ii cв, то можно искать угол между асв1 и св.

2. поскольку точка с принадлежит плоскости асв1, то для построения проекции св на асв1 достаточно построить проекцию точки в на эту плоскость.

3. диагональное сечение dbb1d1 перпендикулярно прямой ас, поскольку в нем есть 2 прямых, перпендикулярных ас - это bd и вв1. поэтому плоскости  dbb1d1 и  асв1 перпедикулярны (асв1 содержит прямую, пепендикулярную другой плоскости dbb1d1). отсюда следует, что если в плоскости  dbb1d1 выделить треугольник вв1о, где о - середина ас (центр квадрата авсd), то высота вм, проведенная к гипотенузе во, и есть перпендикуляр к плоскости авс1. в самом деле, вм перпендикулярно в1о и ас (напомню - ас перпендикулярно плоскости dbb1d1), то есть 2 прямым в плоскости асв1. 

4. таким образом, точка м - проекция в на acb1, и синус искомого угла равен вм/вс. пусть вс = 1 (примем сторону куба за единицу длины). найдем вм.

5. для этого вернемся к треугольнику в1во. вв1 = 1; во = 1/корень(2); вычисляем в1о = корень(1 + 1/2) = корень(3/2);

вм*в1о = вв1*во; (это просто площадь тр-ка, записанная 2 способами)

вм = 1*(1/корень(2))/(корень(3/2)) = 1/корень(3);

это ответ.

по идее, угол kon = 120/2 = 60, а угол kno - прямой, т.к. kn - касательная. значит, okn = 180-60-90=30 градусов. тогда kn = 12*cos(30)=12*корень_из_3/2 = 6 корней из трёх. ну а km = kn