1. точка b делит хорду окружности на отрезки длиной 6 см и 12 см. найдите диаметр окружности, если точка b удалена от центра окружности на 7 см. 2. разность между медианой и высотой, проведенными к гипотенузе
прямоугольного треугольника, равна 1 см. основание данной высоты отстоит от центра окружности, описанной около треугольника, на 7 см. найдите периметр треугольника. 3. хорда ab делит дугу окружности в отношении 5: 13.
через точку a проведена касательная к окружности. найдите углы, которые она образует с данной хордой.

1. длина хорды 18, половина 9. от в до середины хорды 3. h - расстояние от центра до хорды (= до её середины). имеем

7^2 - 3^2 = h^2;

h^2 + 9^2 = r^2;

r^2 = 7^2 - 3^2 + 9^2 = 121; r = 11;

2. центр описанной окружности совпадает с основанием медианы, поэтому

(h + 1)^2 = h^2 + 7^2; h = 24; медиана 25, гипотенуза 50, отрезки гипотенузы до основания высоты 32 и 18; поэтому катеты 30 и 40. (ответ был очевиден - это простейший египетский треугольник)

3. дуги 5*х и 13*х, откуда х = 20, и дуги 100 и 260. поэтому углы хорды с касательной 50 и 130. 

Квадрат медианы к стороне в равен a^2+b^2\4 квадрат медианы к стороне а равен b^2+a^2\4. квадрат медианы к гипотенузе равен c^2\4 . сложим всё это a^2+b^2+b^2\4 +a^2\4+c^2\ 4=c^2+c^2\4+c^2\4=3\2c^2. что и требовалось доказать.

40+30=70 см - внешнее касание

40-30=10 см - внутреннее касание