Ортогональной проекцией треугольника АВС на площадь ∝ треугольника АВ1 С см. Висота ВД треугольника угол 60.Знайты площадь треугольника AB1 C если AC = 5см, BD = 6 см

обозначим точку пересечения диагоналей о из прямоугольного треугольника аво в котором ао гипотенуза   и она равна корень из 22 найдём катет ав ов=3 получим   22- 9 =13 ав= корень из 13 из треугольника авd где аd гипотенуза найдем её 13+36=49 тогда ад=7 см.

расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру. проведём fm перпендикулярно de.

треугольник cef = треугольнику emf (прямоугольные, гипотенуза ef общая, угол cef = углу def, т.к ef - биссектриса). => fm = cf=13 (см)

к сожалению не проходят вложения. попробую на словах.

а) из т.к проведем отрезок кр // ас. тр. вкр подобен тр. авс

вк = ав/4 (по условию). значит кр = ас/4 = 15/4, вр = вс/4 = 7/4, но вl = 4,

lc = 3.   тогда рl = 4 - 7/4 = 9/4.

переходим к другой паре подобных тр-ов: kpl и lmc.

kp/cm = lp/lc   15/(4cm) = 9/(4*3)   отсюда:   см = 5. для нахождения последней стороны lm тр. lmc найдем cos lcm = - cosacb = 

= - (bc^2 + ac^2 - ab^2)/(2bc*ac) = - (225+49-260)/210 = 14/210 = - 1/15.

теперь по теореме косинусов найдем lm:

lm =кор(lc^2 + cm^2 - 2*lc*cm*coslcm) = кор(9 + 25 + 2*3*5*/15) = 6.

итак в тр-ке lmc известны все стороны:

mc = 5, lc = 3, lm = 6.   полупериметр: p = 7. площадь по ф. герона:

s = кор[7*(7-3)(7-5)(7-1)] = кор56. с другой стороны, s = pr, где r - радиус вписанной окр-ти .   r = (кор56)/7 = (2кор14)/7

ответ: r = (2кор14)/7.

б) найдем координаты точки о - центра вписанной окр-ти, поместив начало системы координат в т.а и направив ось х по ac.

т.о - точка пересечения биссектрис тр. lmc. проведем оn перпендик. см

оn = r = (2кор14)/7.

тр-к соn: сn = on/tg(lcm/2)     tg(lcm/2)= sinlcm /(1+coslcm) = 

=  (2кор14)/7.

тогда cn = 1.

итак точка о ( и весь вектор ао) имеет координаты (16;   (2кор14)/7)

длина вектора ао = кор[ 256 + 56/49] = (30кор14)/7

ответ: ао = (30кор14) / 7.

пусть неизвестные стороны равны х и 2х.

составляем уравнение:

3х+7=43;

3х=36;

х=12;

2х=24.

ответ: 12 см, 24 см.

p.s. на самом деле  такого треугольника не существует (воспользуйся неравенством треугольника).