І 3.16. Егер үшбұрыштың екі бұрышы: 1) 54 және 36;
2) 42" және 78'; 3) 65 және 35 ; 4) 33° және 120°-қа тең болса,
онда оның үшінші төбесіндегі сыртқы бұрышын табыңдар.​

по условию треугольник авс - равносторонний, значит угол с=60град., сторона вс=12см. по условию д-середина стороны вс, значти вд=дс. треугольник дмс-прямоугольный, т.к. дм-высота по условию, значит если угол с=60град., то угол мдс=30град. напротив угла в 30град. лежит катет ас, а по свойству угла в 30град., в прямоугольном треугольнике сторона ас=3см(половине гипотенузы дс). ас=12(треугольник авс - равносторонний по услов), значит ам=ас-мс=12-3=9см

пусть угол в=хград., тогда а=х+50,а с=1/5 * (х+х+50). составим уравнение:

х+х+50+ 1/5 * (х+х+50)=180,    2х+50+0,4х+10=180,        2,4х=180-60,

2,4х=120, х=50

итак, угол в=50 град., угол а=50+50=100 град., угол с=1/5 *150=30 град.

  обозначим биссектрису угла а как ад. угол дас=100/2=50 град.,

угол дса (или с)=30 град.(мы это получили из уравнения), тогда

угол адс= 180-(50+30)=100 град.

аналогично вычисляем угол адв, он равен 180-(50+50)=80 град.

ответ: биссектриса угла а со стороной вс образует углы 100 град. и 80 град. 

1. соединим середины сторон всеми возможными способами. ромб abcd, в него вписан (как легко убедиться) прямоугольник mkln, диагонали пересекаются в точке o. получили 4 маленьких ромба: amon, mbko, okcl, nold. в каждом из этих ромбов часть прямоугольника равна половине площади ромба. отсюда площадь прямоугольника равна половине площади ромба, т.е. s/2.

ответ: s/2.

2. углы aa1b и aa1c опираются на диаметры, а значит они равны по 90 градусов каждый. аа1 перпендикулярно а1в и а1с, значит, а1в и а1с параллельны, а т.к. они проходят через одну и ту же точку, то они . значит, точки в, а1, с лежат на одной прямой.

ответ: 90, 90.

3. перпендикуляры из точки о равны по одной третьей каждой высоты треугольника(теорема про пропорциональные отрезки). найдём высоты треугольника.

есть высота ан. пусть вн=х, а сн=6-х.

из теоремы пифагора:

25-х2=49-36+12х-х2;

12х=12;

х=1;

ан=2кор(6);

вн=12кор(6)/7;

сн=12кор(6)/5.

ответ: 2кор(6); 12кор(6)/7; 2,4кор(6).

4. угол всд=60, т.к. угол асд=авд=30(углы, оп. на одну дугу, равны.)

аналогично угол адс=50.

углы свд и сад равны. и равны они по:

(360-30*4-20*2)/2=100 градусов.

значит, угол авс=130, угол вад=120.

ответ: 130, 60, 50, 120. 

а). если через прямую и точку можно провести более одной плоскости, значит точка эта лежит на прямой.

итак центр о описанной окружности лежит в середине кр. тогда угол кмр - прямой. км - гипотенуза пр. тр-ка.

другой катет:

мр = кор(25-16) = 3

площадь:

s = 3*4/2 = 6

ответ: 6

б) делаем вывод, что центр вписанной окружности лежит на высоте(она же биссектриса) ам, проведенной из вершины м к стороне кр.

значит треугольник кмр - равнобедренный и км = мр = 4. кр = 5

найдем площадь:

полупериметр: р= (4+4+5)/2 = 6,5

площадь по формуле герона:

s = кор(6,5*2,5*2,5*1,5) =(5кор39)/4 = 7,8 (примерно)

в) прямая пересекает плоскость только в одной точке, значит центр вписанной окружности лежит на медиане рв, а значит рв - и биссектриса.

следовательно тр. кмр - равнобедренный, кр = рм = 5, км = 4

полупериметр:

р = (4+5+5)/2 = 7

площадь по формуле герона:

s = кор(7*2*2*3) = 2кор21= 9,2 (примерно).