Из вершины C прямого угла треугольника ABC опущена высота CK, и в треугольнике ACK проведена биссектриса CE. Прямая, проходящая через точку B параллельно CE, пересекает CK в точке F. Докажите, что прямая EF делит отрезок AC пополам.

CF : KF = AE : KE

Объяснение:

Так как  угол ВСЕ= 90 градусов -угол В/2, то угол ВСЕ=углу ВЕС, а значит ВЕ=ВС.

поэтому CF/KF=BE : BK = BC : BK и  AE : KE = CA : CK = BC : BK.

Пусть прямая EF пересекает AC в точке D. По теореме Менелая

AD/CD*CF/KF*KE/AE=1

Учитывая, что  CF : KF = AE : KE, получаем требуемое

радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник равен

r=a/(2*sqrt(3))

длина окружности равна

l=2*pi*r=pi/sqrt(3)

ам=смtgα

вn=bcsinα

вс=2см

bn/am=bcsinα/(cmtgα)=2см*sinα/(cmsinα/cosα)=2cosα