В n-мерном кубе покрашено более половины вершин. Ребро называют покрашенным, если покрашены обе ограничивающие его вершины. Докажите, что покрашено не менее n ребёр.

доказательство.  пряма bd проходит содержит диагональ ромба.

диагонали ромба пересекаются и в точке пересечения – точке о делятся пополам.

диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

поэтому расстояние ao=r=oc, и ao перпендикулярно вд, значит bd будет касательной к окружности с центром в точке а и радиусом равным ос с точкой касания о.. доказано.

рассмотрим грань aa1d1d. aa1=3, ad=3. проведем в этой грани диагональ a1d. рассматриваем прямоугольный треугольник aa1d. по теореме пифагора находим a1d (это гипотенуза прямоугольного треугольника, aa1 и ad - его катеты). считаем, получается, что a1d=5 см. по подобию в противоположной грани bb1c1c  b1c= 5 см. теперь рассматриваем диагональное сечение da1b1c. это прямоугольник, длина которого равна 5, а ширина 3. находим площадь: 5*3=15 см квадратных. решена.

отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия, значит к=5,5/(0,4+0,8+1)=5,5/2,2=2,5.

находим стороны треугольника:

0,4*2,5=1 (см)

0,8*2,5=2 (см)

1*2,5=2,5 (см)

напротив (по диагонали) угла 42 градуса в параллелограмме лежит такой же угол. другую пару составят внутренние односторонние углы к углам в 42 гр: 180 - 42 = 138 гр.

это объясняется свойствами углов при пересечении двух параллельных прямых - секущей - а именно признаками параллельности.

ответ: 42; 138; 42; 138 градусов.