решение:  центр о описанной окружности лежит на медиане, проведенной к основанию треугольника.
 медиана проведенная к основанию равнобедренного треугольника является его биссектрисой и высотой (свойство равнобедренного треугольника)   .
 cредняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.
 поэтому ac=2*mn=2*корень (15).
 пусть вк – медиана, проведенная к основанию ас, тогда
 ак=ск=1\2*ас=
 1\2* 2*корень (15)=корень(15).
 1 случай) если центр о описанной окружности лежит внутри треугольника авс, тогда: 
 по теореме пифагора ok^2=oa^2-аk^2
 ok^2=8^2-(корень(15))^2=49
 ок=7
 вк=ов+ок=8+7=15.
 по теореме фалеса так как mn||ac, ак=ск, то мl=nl, где l– точка пересечения медианы вк и средней линии mn.
 ml=nl=1\2*mn=1\2*корень (15).
 по теореме фалеса так как mn||ac, ам=см, cn=bn, значит bl=kl
 bl=kl=1\2*bk=1\2*15=7.5
 lo=ob-bl
 lo=8-7.5=0.5
 mn||ac, вк перпендикулярна к ас, значит вк перпендикулярна к mn, значит треугольник lmo прямоугольный с прямым углом mlo.
 по теореме пифагора: 
 om^2=lo^2+ml^2
 om^2=0.5^2+(1\2*корень (15))^2=4
 om=2
 2 случай) если центр о описанной окружности лежит вне треугольника авс, тогда: 
 по теореме пифагора ok^2=oa^2-аk^2
 ok^2=8^2-(корень(15))^2=49
 ок=7
 вк=ов-ок=8-7=1.
 по теореме фалеса так как mn||ac, ак=ск, то мl=nl, где l– точка пересечения медианы вк и средней линии mn.
 ml=nl=1\2*mn=1\2*корень (15).
 по теореме фалеса так как mn||ac, ам=см, cn=bn, значит bl=kl
 bl=kl=1\2*bk=1\2*1=0.5
 lo=ob-bl
 lo=8-0.5=7.5
 mn||ac, вк перпендикулярна к ас, значит вк перпендикулярна к mn, значит треугольник lmo прямоугольный с прямым углом mlo.
 по теореме пифагора: 
 om^2=lo^2+ml^2
 om^2=7.5^2+(1\2*корень (15))^2=60
 om=корень(60)=2*корень(15)
   
 з.і. вроде так*
Популярные вопросы