1. Знайдіть третій кут трикутника, якщо два його кути дорівнюють 40° і
60°.
2. Один із восьми кутів, що утворилися при перетині двох паралельних
прямих січною, дорівнює 132°. Знайдіть решту кутів.
3. Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 100°. Знайдіть
кут при основі цього трикутника.
4. Дві сторони трикутника дорівнюють 3,2 см і 5,7 см. Якому
найбільшому цілому числу сантиметрів може дорівнювати третя сторона?
5. Кут між бісектрисою BL і катетом АC прямокутного трикутника АВС
(<С = 90°) дорівнює 55°. Знайдіть гострі кути трикутника АВС.
6. Один із внутрішніх кутів трикутника на 20° менший за інший, а
зовнішній кут при третій вершині дорівнює 140°. Знайдіть кути трикутника.
7. У трикутнику АВС кут С дорівнює 90°, а кут В дорівнює 60°. На
катеті АС відкладено відрізок СD рівний СВ. Знайдіть кути трикутника АВD.

радиус окружности описанной вокруг многоугольника определяется по формуле

r=a/(2*sin(360/2*

откуда

а=2r*sin(360/2n)

для правильного треугольника

a=2*5*sin(60°)=10*sin(60°)=5*sqrt(3)

для правильного 9-угольника

a=2*5*sin(20°)=10*sin(20°)

для правильного 18-угольника

a=2*5*sin(10°)=10*sin(10°)

то есть

ab=5*sqrt(3)

bc=10*sin(20°)

cd=10*sin(10°)

вокруг четырехугольника можно описать окружность если сумы противоположных сторон равны, то есть

ab+cd=bc+ad

5*sqrt(3)+10*sin(10°)=10*sin(20°)+ad

ad=  5*sqrt(3)+10*sin(10°)-10*sin(20°)=

=5*sqrt(3)+10*(sin(10°)-sin(20°))

по теореме пифагора a^2+b^2=c^2

a=16

b=30

c=34

16^2+30^2=34^2, следовательно треугольник авс - прямоугольный,

угол  с = 90 градусов.

по теореме синусов

a/sina=b/sinb=c/sinc

16/sina=34/sin90

16/sina=34/1

sina=16/34

угол  a=28 градусов 1 минута

30/sinb=34/sin90

sin b=30/34

b=61 градус 56 минут

авс-треуг. , ас-основание, ав=вс, сд и ае-медианы.

треугольники адс=сеа, т. к. ас-общая, углы дас=еса(углы при основании в равнобедр. ад=ес, т. к. ае и сд-медианы, ад=дв=1/2 ав, се=ве=1/2 вс(вс=ав, т.к. треуг. равнобедр.)

а если треуг. адс=сеа, то и стороны их дс=ае, что и требовалось доказать