100 баллов
Найдите косинус угла между векторами a=3k-p и b= k-3p, если k перпендикулярен p , |k|=|p|=1

Найдите косинус угла между векторами a=3k - p и b = k -3p, если k перпендикулярен p , |k| = |p| = 1 .

Дано:  

a = 3k - p  ,  b = k - 3p  , k ⊥ p  , |k| = |p| = 1 .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

cos(a^b)  - ?

Скалярное  произведение:  a*b  =|a|*|b| *cos(a^b)  (определение)

* * * a* a =|a|*|a|*cos(a^a)= |a|²*cos0° = |a|²  || (a)² = |a|²  || ; a*b =b*a  ;

если a ⊥ b , то   a*b =|a|*|b| *cos(a^b) =|a|*|b| *cos90° = 0  * * *

                             cos(a^b)  = a*b / |a|*|b|      

a*b = (3k - p)*( k - 3p) = 3k² -  9 k*p - p* k + 3p² =3k² - 10k*p + 3p² =

         3 |k|² - 10*k*p + 3|p|² = 3+0 + 3 = 6 ;

|a|² = a² = (3k - p)*(3k - p) =9k²- 6k*p+ p² =9*1² -6*0 + 1² = 10 ⇒  |a|  =√10 ;

|b|²  =b² = (k - 3p)*(k - 3p) = k²- 6k*p+ 9p² =1² -6*0 +9*1² =10   ⇒ |b|  =√10 .

следовательно :cos(a^b)  = a*b / |a|*|b| =6/ (√10)² =6/10 = 0,6     || 3/5 ||

ответ:  0,6 .

Объяснение:

а*в=|а| * |в|*cos (∠ав) , cos (∠ав)=(а*в):(|а| * |в|)

Вектора  a=3k-p , b= k-3p.

а*в=(3k-p) *( k-3p)=3к²-10рк+3р².

Скалярный квадрат к²=|к|²=1²=1.

Скалярный квадрат р²=|р|²=1²=1.

Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0

(  р*к=|р | * |к |*cos (∠кр)=1*1*cos90=0 ).

Получаем а*в=3к²-10рк+3р²=3*1+0+3*1=6.

Найдем длину вектора  a=3k-p . Т. к. к⊥р, то треугольник построенный на этих векторах будет прямоугольным , с катетамии 3и 1. Гипотенуза, по т. Пифагора , √10, значит | a|=√10

Аналогично для вектора  b= k-3p, |b|=√10

cos (∠ав)=6 :(√10* √10)=6/10=0,6

решаем систему 9х=4у и ху=144    из первого уравнения х=4у/9 ,а второе уравнение    4у^2=144*9    отсюда у=18    а х=4*18/9=8

найдём отношения средних линий 2: 2,5: 3   найдём сумму отношений 2+2,5+3=7,5 30: 7,5=4 см одна часть. тогда средние линии   8 см   10 см   12 см.