Прямая am не лежит в плоскости квадрата abcd, угол mad — прямой, а угол мав равен 30°. найдите угол:

1) между лучами: a) dc и am; б) вс и ма; в) am и cd;

2) между прямыми: a) dc и am; б) вс и ма; в) ас и ad.

Пусть одна наклонная равна х см, тогда вторая наклонная равна (х+3) см. меньшей наклонной соотвествует меньшая проекция. выразим перпендикуляр из одного прямоугольного треугольника и из второго и приравняем эти выражения: (х+3)^2 - 100=x^2-25, x^2+6x+9-100=x^2-25, 6x=66, x=11. одна наклонная равна 11см, а вторая 14 см.

cb^2 = ab^2 - ca^2 = 324 ( по теореме пифогора )

cb = 18

тангес - отношения противолежащего катета к прилежащему

tga = cb \ ac = 3\4

 

треугольник а1оа9 - равнобедренный с углом при вершине 120о , поэтому при радиусе окружности r  его площадь равна

r^2 * sin 120o / 2 = r^2 * корень(3) / 4

в данном случае она составляет  2 * корень(3), поэтому 

r^2 / 4 = 2 ,  откуда  r = корень(8)

в треугольнике а1а6а7 сторона а1а7 - диаметр окружности, угол при вершине 15о (вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу). сторону а1а6 находим по теореме косинусов из равнобедренного треугольника, у которого боковая сторона - радиус, а угол при вершине 150о.

а1а6^2 = r^2 + r^2 - 2 * r * r * cos 150o = 2 * r^2 - 2 * r^2 * (-корень(3)/2) = 

r^2 * (2 + корень(3)) = 8 * (2 + корень(3))

итак, а1а6 = корень(8 * (2 + корень(

                  а1а7 = 2 * корень(8)

sin 15o = корень ((1 - cos30o)/2) = корень ((1 - корень(3)/2)/2)=

корень(2-корень(3))/2

 

таким образом, искомая площадь

s = a1а6 * а1а7 * sin 15o / 2 = корень(8 * (2 + корень ( * 2 * корень(8) * корень (2 - корень(3)) /2 /2 = 8 * 2 / 4 = 4

векторы ав и ва - противонаправленные, их длины равны, поэтому

ва = -ав = -а