точки a и b лежат вне квадрата pqrs, и при этом треугольники ars и bqr равносторонние. найдите угол apb.

ответ:

∠арв=60°

объяснение:

выполним дополнительные построения, соединив точки а, в, р.

докажем, что δарв - равносторонний.

рассмотрим δpqb. он равнобедренный с основанием рв, т.к. pq=qb. угол, лежащий напротив основания ∠pqb=∠pqr+∠bqr=90+60=150°.

аналогично δpsa с основанием ра - равнобедренный с ∠psa=150°.

рассмотрим δbra. он равнобедренный с основанием ва. т.к. br=ra. в нем угол, лежащий против основания ∠bra=360-∠brq-∠ars-∠qrs=360-60-60-90=150°.

тогда по двум сторонам и углу между ними

δpqb=δpsa=δbra.

следовательно и соответствующие стороны в них равны. а т.к. δарв образован основаниями равных равнобедренных треугольников, то он равносторонний.

внутренние углы равностороннего треугольника равны 60°, значит ∠арв=60°.

рисунок с расставленными обозначениями отправил по почте (вложения так и не работают).

сначала нужно решить сам тр-к авс чтобы найти r- радиус вписанной в авс окр-ти. (о - т. пересечения биссектрис).

sinb = (4кор3)/7,  sina = (5кор3)/14, угол с = 60 град.

ав = 7,  вс = 5. подробности опускаю. все проделывается элементарно по т. синусов. ас = 8 - по условию.

s(abc) = (1/2)ас*вс*sin60 = 10кор3.

s(авс) = pr = (8+5+7)r/2 = 10r.

значит r = кор3.

угол с/2 = 30 град.

из тр.olc:   lc = r/tg30 = 3.    oc = 2r = 2кор3.    al = 8-3 = 5.

тр. opd подобен тр. ocep. угол pdo = epoc = a + (c/2) = a + 30

od = r/sin(a+30) = r/[sina*cos30 + cosa*sin30] = (14кор3)/13,

то есть sin(a+30) = 13/14

тогда ocd= 14(rc)/13. (rc) - радиус окр-ти с центром oc.

теперь гипотенуза большого тр-ка сfoc:

сoc = oc + od + ocd = 2кор3 + (14кор3)/13 + 14(rc)/13.

с другой стороны:

coc = (rc)/sin30 = 2(rc)

приравняв, найдем (rc):

(rc) = (10кор3)/3

тогда расстояние осо легко вычислить из прямоуг. трапеции ocolf, проведя высоту из т.о на основание ocf:

oco = ((rc) - r )/sin30 = (14кор3)/3

заметим, что fc = (rc) / tg30 = 10теперь аналогичные манипуляции проделаем с другой окружностью - оа.

там пригодится найти sin(a/2)  и  cos(a/2)(через косинус двойного угла а):

sin^2(a/2) = (1-cosa)/2.    sin(a/2) = (кор3)/кор28

cos(a/2) = 5/кор28

sinhqoa = sin(60 + (a/2)) = (3кор3)/кор28

теперь распишем составляющие гипотенузы аоа:

аоа = ао + ом + моа = 5/(cos(a/2))  +  r/(sin(a/2 +60)) + (ra)/(sin(a/2 +

с другой стороны:

аоа = (ra) / sin(a/2) = ((ra)кор28)/кор3.

приравняв и решив уравнение, получим:

(ra) = 2кор3

заметим, что ак = (ra)/tg(a/2) = 10

значит:

fk = 2+8+2 = 12.

завершающий шаг:

из прям. трапеции fkoaoc найдем оаос:

оaос^2 = 144 + (())^2 = 144 + 16/3

оаос = кор(448/3) = (8кор21)/3

ответ: оаос = (8кор21)/3; осо = (14кор3)/3.

1) пусть одна сторона трапеции равна 6x тогда вторая 7x

                  (6x+7x)/2=104

                    13x=208

                    x=16

      одна сторона равна 6*16=96

      вторая 7*16=112

2) пусть имеем трапецию abcd, ck||ab

      ak=5, кd=4

      mn - средняя линия трапеции

      mn=mp+pn

      mn=bc=ak=5

      pn - средняя линия треугольника kcd, она равна половине основания треугольника, то есть 4/2=2

тогда

      mn=5+2=7 - средняя линия трапеции