30 б! периметр прямоугольника равен 68 см, разность его сторон равна 14 см. середины сторон прямоугольника являются вершинами четырехугольника. укажите вид этого четырехугольника и найдите его площадь ответ должен быть ромб,120 см^2

Находим стороны прямоугольника из условий: - п ериметр прямоугольника равен 68 см,-  разность его сторон равна 14 см. то есть, 68 = 2*(а+(а+ а =(68-2*14)/4 = 10 см, в = 10+14 = 24 см. линии, соединяющие середины сторон прямоугольника, - это диагонали ромба, так как перпендикулярны. и длины сторон равны. это доказывает, что полученный четырёхугольник   - ромб. площадь ромба s = (1/2)d₁*d₂ = (1/2)*10*24 = 120 см².

доказательство: пусть abc данный треугольник, ав- его гипотенуза

an, bm,cl – его медианы

с прямоугольных треугольников anc,bmc,abc   по теореме пифагора:

an^=ac^2+(bc\2)^2=ac^2+1\4 *bc^2

bm^2=bc^2+(ac\2)^2=bc^2+1\4* ac^2

ac^2+bc^2=ab^2

cl=1\2ab(медиана проведенная к гипотенузе равна ее половине)

cl^2=1\4ab^2 ,

an^2+bm^2+cl^2= ac^2+1\4 *bc^2+ bc^2+1\4* ac^2 +1\4ab^2=

5\4*(ac^2+bc^2)+1\4*ab^2=5\4*ab^2+1\4*ab^2=6\4*ab^2=1.5*ab^2

an^2+bm^2+cl^2=1.5*ab^2

доказано

решение: пусть abcd - данный ромб, аc=30 см, bd=40 см

о - точка персечения диагоналей

 

диагонали ромба(как параллелограмма) в точке пересечения делятся пополам.

значит ao=co=1\2*ac=1\2*30=15 см

bo=do=1\2*bd=1\2*40=20 см

 

диагонали ромба пересекаются под прямым углом

по теореме пифагора

ab=корень(ao^2+bo^2)=корень(15^2+20^2)=25 см

 

полупериметр ромба равен p=2*ав=2*25=50 см

 

площадь ромба равна половине произведения диагоналей

s=1\2*ac*bd=1\2*30*40=600 cм^2

 

площадь ромба равна произведению полуперимтера на радиус вписанной окружности

s=p*r

радиус вписанной в ромб окружности равен

r=s\p=600\50=12 cм

ответ: 12 см