Ребра правильного тетраэдра dabc равны а, к-середина вс найти: 1) вектор da*ak 2)da*bc

1) все грани тетраэдра будут правильными треугольниками  ak⊥bc; ∠kab = ∠kac; = 30° (медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также высотой и биссектрисой)  ∠(da, abc) = ∠dak;   a) по теореме о трех косинусах cos(∠dak) = cos(∠dac)/cos(∠kac) =1/√3  cos(вектор_da, вектор_ak) = cos(180 − ∠dak) = −cos(∠dak) = −1/√3  скалярное произведение вектор_da · вектор_ak = |da|·|ak|·cos(вектор_da, вектор_ak) = −a²/√3  b)  at||bc; at = bc = a; ∠kat; = 30 + 60 = 90°  по теореме о трех косинусах cos(∠dat) = cos(∠kat)·cos(∠dak) = 1/√6  cos(вектор_da · вектор_bc) = cos(вектор_da · вектор_at) = cos(180 − ∠dat) = −cos(∠dat) = −1/√6  скалярное произведение вектор_da · вектор_bc = |da|·|bc|·cos(вектор_da · вектор_bc) = −a²/√6  2) da1c1c не является гранью  если там dd1c1c  a − ребро куба  at||bd1; at = bd1;   at² = bd1² = 3a²  am² = a² + (½a)² + (½a)² = (3/2)·a²  tm² = ((3/2)·a)² + (½a)² = (5/2)·a²  по теореме косинусов tm² = am² + at² - 2·am·at·cos(∠tam)  cos(∠tam) = (√2)/3  cos ∠(вект_am, вект_bd1) = cos(∠tam) = (√2)/3 > 0 угол острый, т. к. косинус положительный

cos< a=8: 17

storonu ac = 25 => tg< c=8: 15

 

s=4*(1/2)*4*h

h2 = 4*4 - 2*2 (по теореме пифагора) =   16 -4 = 12

h=2корня из трех

s=4*(1/2)*4*2 корня из трех = 16 корней из трех.