Вкубе abcda1b1c1d1 точка к - центр грани dcc1d1. вычислите угол между прямыми: а) bc1 и ak; б) b1d и a1k.

А) "скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или другими словами это две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными." прямые ак и вс1 - скрещивающиеся. "углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым". диагональ аd1 параллельна диагонали вс1. значит искомый угол  - < d1ak. поскольку ас=аd1=d1c (диагонали граней), то треугольник аd1с - равносторонний и ак - биссектриса угла d1ac=60°. значит искомый угол между прямыми вс1 и ак равен 30° б) перенесем в1d параллельно так, чтобы точка в1 совпала с точкой а1. а1м = а√3 (а1м=в1d - диагональ куба) мр=√(4а²+а²)=а√5  (так как мс=2а, ср=а, поскольку ск1 - средняя линия тр-ка авр). ак1=√(а²/4+а²)=а√5/2 (по пифагору из прямоугольного треугольника ак1d) а1к=√(а²/4+5а²/4)=а√6/2  (по пифагору из прямоугольного треугольника а1кн) а1р=2*а1к=а√6. (поскольку кк1 - средняя линия тр-ка аа1р). по теореме косинусов: cosα=(а1м²+а1р²-мр²)/2*а1м*а1р. cosα=(3а²+6а²-5а²)/2*а√3*а√6 = 4а²/6а²√2 = √2/3. значит угол равен ≈62°. координатный метод: привяжем к кубу систему координат. поскольку искомые углы не зависят от размера  куба, пусть его стороны равны 2. тогда имеем точки в1(0; 2; 0), d(2; 0; 2), a1(0; 2; 2) и k(2; 1; 1). координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала ab{xb-xa; yb-ya; zb-za}. тогда вектор b1d{2; -2; 2}, вектор а1к{2; -1; -1}. угол α между вектором a и b вычисляется по формуле: cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²) * √(x2²+y2²+z2²)]. в нашем случае: cosα= (4+2-2)/[√(4+4+4)*√(4+1+1)] или cosα= 4/6√2=2/3√2=√2/3. значит угол равен ≈62°.

Вромбе диагонали взаимно перпендикулярны, являются биссектрисами углов ромба и в точке пересечения делятся пополам. пусть ов=х. тогда в прямоугольном треугольнике оав ав=2*х, так как угол оав=30°. по пифагору ао=√(4х²-х²)=х√3. тогда ас=х*2√3. в треугольнике сав ак - биссектриса угла сав, значит по свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника ск/вк=ас/ав или (2х-12)/12 =х*2√3/2х. или  (2х-12) =12√3. отсюда х=6+6√3. итак, db=2х, ас=2х√3. площадь ромба равна s=d*d/2 или s=db*ac/2 = 2x*2х√3/2 = x²*2√3. подставим значение х: s=(6+6√3)²*2√3 = (36+72√3+108)*2√3 = 72√3+432+216√3= 432+288√3 ≈ 930,2cм² второй вариант: в тр-ке авк < kab=15°, < abk=120° и < bka=45°. по теореме синусов 12/sin15°= ab/sin45°, откуда ав=12*sin45°/sin15°. итак ав = 12*0,707/0,259 ≈ 32,76. площадь ромба равна s=а²*sinα или s = 32,76²*0,866≈ 929,4см² результаты равны с учетом погрешностей значений корней и синусов углов.