Высоты, проведенные из вершин а, в и с треугольника авс, равны 20, 15 и 12 соответственно. а) докажите, что треугольник авс прямоугольный. б) найдите длину биссектрисы треугольника, проведенной из вершины с.

Впрямоугольном треугольнике две высоты с катетами, это 20 и 15. тогда гипотенуза c=(20^2+15^2)^(1/2)=25, высота, опущенная на с hc=ab/c=12 данная в условии. искомая  биссектриса bc  , проведенная из  вершины прямого угла c выражается известной формулой bс=2b*a*cos(π/4)/(a+b)=2*15*20/1,41*(15+20).=12,15

1. пусть дан треугольник авс . ав = вс , из вершины с проведена биссектриса сд. ад = 2, дв = 4 , тогда ав = 2 + 4 = 6.

2. по свойству биссектрисы ас/ад = вс /вд => ас = вс * ад /вд=> ас=3.

обозначим точку пересечения радиуса oc и хорды abчерез k

треугольники oak и obk равные как прямоугольные за катетом и гипотенузой

oa=ob(как радиусы) ok=ok(очевидно)

поэтому угол aoc равен углу boc(или тоже самое угол aob= 2* угол aoc) и ak=bk

в прямоугольно треугольнике akc угол ack=90 градусов - угол cak

угол cak=угол вас=15 градусов.

угол ack=90 градусов - 15 градусов =75 градусов

треугольник aoc равнобедренный (ao=co как радиусы)

поэтому угол ack=угол aco=угол oаc=75 градусов

сумма всех углов треугольника 180 градусов, поєтому

угол aoc=180 градусов - 75 градусов -75 градусов=30 градусов

угол aob = 2*угол аос=2* 30 градусов=60 градусов

ответ: 60 градусов