Биссектриса прямого угла треугольника делит его на два равнобедренных треугольника докажите что и исходный треугольник равнобедренный

два полученных (после проведения биссектрисы прямого угла в исходном прямоугольном треугольнике) равнобедренных треугольника имеют один угол 45 градусов. поскольку это равнобедренные треугольники, то вариантов, чему равны остальные углы треугольников, не много. либо это прямоугольный равнобедренный треугольник (второй острый угол тоже 45 градусов, третий угол прямой), либо два остальных угла равны 135/2 градусов. при этом какой-то из углов одного треугольника образует с каким-то из углов другого треугольника развернутый угол (180 градусов). легко видеть, что это возможно только в одном случае - если оба этих самых "каких-то" углов - прямые.

это означает, оба треугольника - равнобедренные прямоугольные, и исходный треугольник - тоже, поскольку биссектриса прямого угла получилась перпендикулярной гипотенузе.

треугольники авс и кмn подобны, т.к. k=ав/км=вс/mn=ас/nk=0,8.

по формуле площади: ав*вс* sin α

и км*mn * sin β.

нужно найти отношение  (ав*вс*sin α)/(км*mn *sinβ)

треугольники подобны, значит: sin α=sin β, тогда: (ав*вс)/(км *mn) .

но ав=0,8км и  вс=0,8mn, значит отношение: (0,8км*0,8mn)/(км*mn) = 0,8²=0,64.

тогда площади относятся, как 0,64/1 или 0,64*1,5625/1,5625=1/1,5625

ответ: периметры относятся, как 1/1,5625 или 0,64/1

а -высота δ

в -сторона основания

а*в=36√3

а/sin60=в/cos60  ⇒2а/√3=2в    ⇒в=а/√3

а*а/√3=36√3

а²=36

а=6

в=6√3

sδ=в²√3/4=27√3

v=as=6*27√3=162√3 см³