Вертикальный стержень длиной l стоит на гладкой горизонтальной поверхности. в какой то момент он теряет устойчивость и падает. по какой траектории движется мгновенный центр вращения стержня во время его падения?

Пусть нижний конец стержня движется вправо 1) по закону сохранения импульса в любой момент времени центр стержня остается на той же вертикали, на которой был стержень в начальный момент времени. средняя точка стержня имеет скорость, направленную вниз. 2) нижняя точка стержня находится в постоянном соприкосновении с полом и движется горизонтально вправо.  эти две скорости должны быть перпендикулярны радиусам, проведенным из мгновенного центра вращения в точки центра и нижнего конца стержня соответственно. восстанавливая перпендикуляры, мы понимаем, центр вращения будет лежать над правым нижним концом стержня на высоте центра масс стержня. пусть правый нижний конец стержня сместился на x, тогда центр стержня по теореме пифагора (гипотенуза равна l/2) находится на высоте собственно, это и есть уравнение траектории стержня. его можно было бы оставить и в таком виде и мы понимаем, что это уравнение окружности с центром в точке, где сначала был нижний конец стержня и радиусом l/2.  ответ - по дуге окружности

После выстрела измеряем высоту h, с которой был произведен выстрел и дальность s полета шарика. h=g*t^2/2; t=корень(2*h/g); s=v0*t; v0=s/t=s/корень(2*h/g).