Запишем второй закон ньютона для горизонтального участка: f – fсопр – fтр = 0 , если движение равномерно, где f – сила тяги конькобежца. f = сsρu²/2 + μmg , где ρ – плотность воздуха, u, s и с – предельная скорость, площадь сечения и характерный коэффициент сопротивления конькобежца. запишем второй закон ньютона для смычки: v' = ( f – fсопр – fтр – mgsinφ ) / m , где φ – текущий угол поворота на смычке; в данном случае fтр = μn > μmg ! поскольку давление на смычке может быть заметно выше! нормальное ускорение в данном случае: a = v²/r , которое обеспечивается реакцией смычки n за вычетом поперечной к смычке составляющей силы тяжести : mv²/r = n – mgcosφ , где φ – текущий угол поворота на смычке. n = mv²/r + mgcosφ ; fтр = μn = μmv²/r + μmgcosφ ; v' = ( f – сsρv²/2 – μmv²/r – μmgcosφ – mgsinφ ) / m ; s'' = f/m – ( сsρ/[2m] + μ/r )s'² – μgcos(s/r) – gsin(s/r) ; данное нелинейное дифференциальное уравнение в элементарных функциях не решается. для решения можно сделать некоторые пренебрежения. положим некоторые не значительно-переменные на смычке величины – постоянными: μgcos(s/r) ≈ μgcos(φo/2), gsin(s/r) ≈ gsin(φo/2), где φo – угол наклона наклонной плоскости, тогда: v' = [ f/m – μgcos(φo/2) – gsin(φ/o) ] – ( сsρ/[2m] + μ/r )v² ; поскольку мы будем устремлять r к нолю, то: | f/m – μgcos(φo/2) – gsin(φ/o) | < < ( сsρ/[2m] + μ/r )v² , а кроме того: сsρ/[2m] < < μ/r , окончательно: v' = –μv²/r ; rdv/v² = –μdt ; r/v – r/vo = μt ; r/v = r/vo + μt ; v = 1/[ 1/vo + μt/r ] ; ds = 1/[ 1/vo + μt/r ] dt = [r/μ] d( 1/vo + μt/r )/[ 1/vo + μt/r ] ; s = [r/μ] ln| vo ( 1/vo + μt/r ) | = [r/μ] ln|vo/v| ; v = vo exp(–μs/r) = vo exp(–μφ) – это будет скорость конькобежца после смычки. теперь запишем третий закон ньютона на наклонном участке: v' = f/m – fсопр/m – μgcosφ – gsinφ ; f = сsρu²/2 + μmg ; v' = – сsρv²/[2m] – ( gsinφ – сsρu²/[2m] – μg(1–cosφ) ) ; обозначим ускорение возвратных бесскоростных сил, как b = gsinφ – сsρu²/[2m] – μg(1–cosφ) , а величину 2m/[сsρ] = l – как тормозную константу, тогда: v' = – v²/l – b ; dv/[ v²/l + b ] = –dt ; dv/[ v²/(bl) + 1 ] = –bdt ; d(v/√[bl]) / [ (v/√[bl])² + 1 ] = – √[b/l] dt ; arctg(v/√[bl]) – arctg(v/√[bl]) = √[b/l] t ; arctg(v/√[bl]) = arctg(v/√[bl]) – √[b/l] t ; v/√[bl] = tg( arctg(v/√[bl]) – √[b/l] t ) ; v = √[bl] tg( arctg(v/√[bl]) – √[b/l] t ) ; ds = √[bl] tg( arctg(v/√[bl]) – √[b/l] t ) dt = = – l tg( arctg(v/√[bl]) – √[b/l] t ) d( arctg(v/√[bl]) – √[b/l] t ) ; s = l ln| cos( arctg(v/√[bl]) – √[b/l] t ) / cos( arctg(v/√[bl]) ) | ; s = l ln| √[1+v²/(bl)] / √[1+v²/(bl)] | ; когда скорость v станет равна нулю – это и будет наивысшая точка: s = l ln√[1+v²/(bl)] = l ln√[1+vo²exp(–2μφ)/(bl)] ; h = s sinφ ; sinφ = h/so , где h и so – эталонные высоты и смещения, характеризующие наклон горки; 1–cosφ = 1 – √[1–(h/so)²] ≈ [1/2] (h/so)², где h и so – эталонные высоты и смещения, характеризующие наклон горки; h = [s/so] h = [h/so] l ln√[1+vo²exp(–2μarcsin[h/so])/(bl)] ; bl = ( gsinφ – сsρu²/[2m] – μg(1–cosφ) ) 2m/[сsρ] = = 2mg/[сsρ] ( h/so – [μ/2] (h/so)² ) – u² h = 2m/[сsρ]* *[h/so] ln√[ 1 + vo²exp(–2μarcsin[h/so])/( 2mg/[сsρ] ( h/so – [μ/2] (h/so)² ) – u² ) ] ; как мы видим, нам необходима максимальная скорость конькобежца u. будем считать, что это так невнятно дано в виде начальной скорости конькобежца. учтём ещё, что в нашем случае: arcsin[h/so] ≈ h/so, (h/so)² < < 1 и exp(–2μarcsin[h/so]) ≈ 1–2μh/so : h = 2m/[сsρ] [h/so] ln√[ 1 + (1–2μh/so)/( 2 [h/so] mg/[сsρvo²] – 1 ) ] ; очевидно, что для того, чтобы «работающий ногами конькобежец» вообще мог достичь какой-либо наивысшей точки, нужно чтобы: ln√[ 1 + (1–2μh/so)/( 2 [h/so] mg/[сsρvo²] – 1 ) ] > 0 ; (1–2μh/so)/( 2 [h/so] mg/[сsρvo²] – 1 ) > 0 ; 2 [h/so] mg/[сsρvo²] > 1 ; m/сs > ρvo²so/[2gh] ≈ 1.25*64*10/[ 2*9.8*0.5 ] ≈ 4000/49 ; m/сs > 81.6 ; если считать, что cs = 1 м² , то масса конькобежца должна быть больше 82 кг, чтобы он, «продолжая работать ногами», вообще остановился. * допустим, что m/cs = 200 (тяжёлый и слабый), тогда: h ≈ 2*200/1.25 [1/20] ln√[ 1 + (1–0.04*1/20])/( 2*200*9.8*0.5/[1.25*64*10] – 1 )] ≈ 16 ln√[ 1 + 0.998/1.45 ] ≈ 8.4 м. * допустим, что m/cs = 100 (средний параметр), тогда: h ≈ 2*100/1.25 [1/20] ln√[ 1 + (1–0.04*1/20])/( 2*100*9.8*0.5/[1.25*64*10] – 1 )] ≈ 8 ln√[ 1 + 0.998/0.225 ] ≈ 13.5 м. * допустим, что m/cs = 82 (легко-пронырливый), тогда: h ≈ 2*82/1.25 [1/20] ln√[ 1 + (1–0.04*1/20])/( 2*82*9.8*0.5/[1.25*64*10] – 1 )] ≈ 6.56 ln√[ 1 + 0.998/0.0045 ] ≈ 35 м. * допустим, что m/cs > 81.64 (всепреодолевающий на этом наклоне), тогда: h ≈ 2*81.64/1.25 [1/20] ln√[ 1 + (1–0.04*1/20])/( 2*81.64*9.8*0.5/[1.25*64*10] – 1 )] ≈ бесконечность.
Спасибо
Популярные вопросы