Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если наклонные относятся между собой как 1:2, а проекции наклонных равны 1 см и 7 см.

Решение.
 Обозначим заданную в условии точку как В. Пусть наклонные к плоскости пересекают плоскость в точках А и D .

Опустим из точки В перпендикуляр на данную плоскость. Обозначим точку пересечения перпендикуляра с плоскостью как С.   
Наклонные к плоскости и их проектции на плоскость образовали треугольник

Отметим, что у нас образовались прямоугольные треугольники DBC и ABC с прямым углом C. Из чего следует, что по теореме Пифагора:   
BC2 + AC2  = AB2
и
BC2  + CD2  = BD2
или
BC2  = AB2  - AC2
и
BC2  = BD2  - CD2
Теперь, учитывая, что левые части обоих выражений равны, получаем
AB2  - AC2 =  BD2  - CD2
Подставим значения, которые известны по условию
AB2   - 72 = BD2   - 1
AB2   - 49 = BD2   - 1
Поскольку длины наклонных соотносятся как 1:2, обозначив длину BD как х (икс), получаем, что длина AB = 2x, откуда
 4х2   - 49 =  х2   - 1
 3х2  = 48  
 х2   = 16
х = 4

Откуда длина второй наклонной равна 4 * 2 = 8 см

Ответ: 4 и 8 см.