Докажите иррациональность следующих чисел:
а)√3
б)√5
в)√7
г)√11
д)√6
е)√8
ё)√10
ж)√12​

ответ:

докажем сначала, что  √7 - иррациональное число:  

пусть  √7 - рациональное, тогда его можно представить в виде

√7 = p/q - несократимая дробь, где p,q - натуральные числа

тогда 7=p^2/q^2, 7q^2=p^2. т.к. 7q^2 делится на 7, то и p^2 делится на 7,

тогда p=7k, где к - натуральное, получаем

7q^2=(7k)^2, 7q^2=49k^2, q^2=7k^2, значит q - делится на 7.

получается, что p - делится на 7 и q - делится на 7, т.е. противоречие, 

т.к. p/q - несократимая дробь. значит не существует рационального числа, которое равно  √7.

аналогично доказывается, про  √5 и √2.

теперь про сумму(разность) иррациональных чисел:

1.  сначала докажем, что  √5+√2 - иррациональное

  пусть  √5+√2=r - рациональное, тогда  √5=r-√2, 5=r^2-2√2+2, получаем

√2=(r^2 -3)/2 - рациональное - противоречие, т.к.  √2 - иррац.

2. пусть√7- (√5+√2)=r - рациональное, тогда

√7-r=√5+√2, 7-2√7r+r^2=5+2√10+2, √5√2+√7=r^2 /2 - рациональное,

противоречие, аналогично случаю 1.

подробнее - на -

объяснение:

решение во вложенном файле