если число больше 0, и оно есть в обеих сторонах неравенства, то мы можем на него сократить без изменения знака
1. a+b> =0
a^3+b^3 > = a^b + ab^2
(a+b)(a^2-ab+b^2) > = ab(a+b) сокращаем на a+b при a+b = 0 это неравенство превращается в равенсто
a^2-ab+b^2 > = ab
a^2-2ab+b^2> =0
(a-b)^2> =0 квадрат всегда больше равен 0
2. ab> 0
a/b + b/a > =2
a/b + b/a - 2 > =0
(a^2+b^2 - 2ab)/ab > =0
(a-b)^2/ab > = 0
ab> 0 (a-b)^2> =0 первое по условию , второе по определению квадрата
3. ab/c + ac/b + bc/a > = a+b+c при a b c > 0
(a^2b^2/abc + a^2c^2/abc + b^2c^2)/abc - abc(a+b+c)/abc > =0
знаменатель отбросим он всегда больше 0 a*b*c> 0
2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 - a^2bc - b^2ac - c^2ab)/2 > =0
умножаем на 2 числитель и знаменатель
(a^2b^2 + a^2c^2 - 2a^2bc + a^2b^2 + b^2c^2 - 2b^2ac + a^2c^2+b^2c^2 - 2c^2ab)/2 > =0
(a^2(b^2-2bc+c^2) + b^2(a^2-2ac+c^2) + c^2(a^2-2ab+b^2))/2 > =0
(a^2(b-c)^2 + b^2(a-c)^2 + c^2(a-b)^2)/2 > =0
слева сумма квадратов деленное на положительное число, всегда больше равно 0
Популярные вопросы