Знайдіть усі натуральні числа р, q, що задовольняють рівняння arctg1/p+arctg1/q=π/4

task/29542049     arctg (1/p) +arctg(1/q) =   π/4 ;   p ∈ ℕ   , q ∈ ℕ

* * *   arctg (1/p) = α;   arctg(1/q)=β   ; tg( α+β)=( tgα+tgβ) / (1 - tgα*tgβ)     * * *

* * *   - π/2 < arctg(a)   < π/2   и   tg (arctg(a) ) =a   * * *

arctg (1/p) +arctg(1/q) =   π/4 ⇔ tg( arctg (1/p) +arctg(1/q) ) =tg(π/4)⇔

( tg(arctg (1/p)   +tg( arctg(1/q) )/( 1 - tg(arctg (1/p) *tg( arctg(1/q) ) = 1⇔

( 1/p+ 1/q ) / (1-   1/pq ) =1 ⇔ ( p+ q ) / (pq -   1) =1   || pq ≠1 || ⇔ p+ q = pq -   1 ⇔

pq - p - q +1 =2 ⇔   (p -1)(q-1) = 2.   если p   и q натуральные ,то

{ p - 1 = 1 ; q -1 =2     либо   { p - 1 = 2 ; q -1 = 1.    

{ p =2 ; q =3   либо { p = 3 ; q   = 2  

* * *нормально: исходное выражение симметрично относительно p и q* * *

ответ:   (2; 3) ,   (3; 2) .

удачи   !

ученик купил 6 тетрадей за 30р.  6*5=30  44-30=14

и 2 карандаша на оставшиеся 14р. 14: 7=2

х=(15-11у)/2

10*((15-11у)/2)-11у=9

(150-110у-22у)/2=9

150-132у=18

132у=132

у=1

х=(15-11*1)/2=2