1) Содержится ли в этом предложении три грамматические основы, если да, то какие? Сокол был любимцем русских царей. При том же Иване Грозном даже дорожную подать с купцов брали голубями для корма соколам. А царь Алексей Михайлович предавался соколиной охоте даже в ущерб государственным делам. 

2) Доказать, что предложение с бессоюзной и подчинительной связью

Да потому, что сокол здесь вообще ни при чём! Сокол – это старинное стенобитное военное орудие. Оно выглядит как абсолютно гладкая чугунная болванка, подвешенная на цепях.