ответ:
да
объяснение:
начертим равные отрезки bd и ac. пусть точка их пересечения - о.
по условию, о делит оба отрезка пополам. а так как bd=ac, то
bo=oc=oa=od
начертим так же стороны четырехугольника abcd.
надо доказать, что это прямоугольник. bd и ac - его диагонали, они же пересекающиеся прямые. тогда пусть ∠boa=α, ∠boa=∠cod=α (вертикальные). ∠boa и ∠boc - смежные ⇒ ∠boa + ∠boc = 180° ⇒ ∠boc=180°-∠boa=180°-α
отметим также, что δboa=δcod (по 2 сторонам bo=od, co=oa, и углу между ними ∠boa=∠cod). аналогично δboc=δdoa (bo=od, co=oa, ∠boc=∠doa).
из этого следует (второе доказанное равенство треугольников), что ∠obc=∠oda, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых bc и ad секущей bd, то есть bc║ad.
∠oba=∠odc (из первого доказанного равенства треугольников), а это накрест лежащие углы при пересечении прямых ab и cd секущей ac, то есть ab║cd.
из равенств треугольников следует, что bc=ad (2-ое равенство), а ab=cd (1-ое равенство). в четырехугольнике abcd противолежащие стороны равны и параллельны, то есть это параллелограмм. осталось доказать, что хотя бы один угол в нем прямой (тогда найдется ещё один противополежащий равный ему угол, останутся два равных между собой угла, а так как их сумма 180° (сумма углов четырехугольника 360 и минус 2 угла по 90°), то они тоже будут по 90°).
рассмотрим ∠abc:
∠abc=∠abo+∠obc;
из δoba, который равнобедренный, углы при основании равны ∠abo=∠bao = (180°-α)/2=90°-α/2
из δobc, который равнобедренный, углы при основании равны
∠obc=∠ocb=(180°-(180°-α))/2=α/2
∠abc=∠abo+∠obc=90°-α/2+α/2=90°, то есть в параллелограмме abcd все 4 угла прямые, значит, это прямоугольник.вот так! начертим равные отрезки bd и ac. пусть точка их пересечения - о.
по условию, о делит оба отрезка пополам. а так как bd=ac, то
bo=oc=oa=od
начертим так же стороны четырехугольника abcd.
надо доказать, что это прямоугольник. bd и ac - его диагонали, они же пересекающиеся прямые. тогда пусть ∠boa=α, ∠boa=∠cod=α (вертикальные). ∠boa и ∠boc - смежные ⇒ ∠boa + ∠boc = 180° ⇒ ∠boc=180°-∠boa=180°-α
отметим также, что δboa=δcod (по 2 сторонам bo=od, co=oa, и углу между ними ∠boa=∠cod). также δboc=δdoa (bo=od, co=oa, ∠boc=∠doa).
из этого следует (второе доказанное равенство треугольников), что ∠obc=∠oda, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых bc и ad секущей bd, то есть bc║ad.
∠oba=∠odc (из первого доказанного равенства треугольников), а это накрест лежащие углы при пересечении прямых ab и cd секущей ac, то есть ab║cd.
из равенств треугольников следует, что bc=ad (2-ое равенство), а ab=cd (1-ое равенство). в четырехугольнике abcd противолежащие стороны равны и параллельны, то есть это параллелограмм. осталось доказать, что хотя бы один угол в нем прямой (тогда найдется ещё один противополежащий равный ему угол, останутся два равных между собой угла, а так как их сумма 180° (сумма углов четырехугольника 360 и минус 2 угла по 90°), то они тоже будут по 90°).
рассмотрим ∠abc:
∠abc=∠abo+∠obc;
из δoba, который равнобедренный, углы при основании равны ∠abo=∠bao = (180°-α)/2=90°-α/2
из δobc, который равнобедренный, углы при основании равны
∠obc=∠ocb=(180°-(180°-α))/2=α/2
∠abc=∠abo+∠obc=90°-α/2+α/2=90°, то есть в параллелограмме abcd все 4 угла прямые, значит, это прямоугольник.
Популярные вопросы