Пусть (можно считать, что это данная множество чисел, потому включив в нее 0, не изменится ответ к вопросу, докажем, что когда в разбить на две группы так, как это требует условие , то сумма всех чисел одной группы будет равна сумме всех чисел второй. все числа с множеств в имеют вид , где р - равно нулю или 1, а цифры q, a ,b могут быть произвольными. разобьем множество в на две подмножества н и k, включив до н все числа из в с нечетным суммой цифр, а в k - с четным. обозанчим через и суммы чисел соотвественно с н и к. докажем, что для этого, подадим как сумму где, - сумма чисел , в которой (a+b) нечетное число( поэтому (p+q) - четное число), а сумма чисел , в которой (a+b) - четное число ( отсюда (p+q) - нечетное число). аналогично сделаем это суммой , положив , где сумма чисел , в которых и (a+b) и (p+q) - нечетные( соотвественно, и (a+b), и (p+q) - четные числа). тогда где виражение содержит только те числа , в которых (a+b) - нечетное, а выражение -только те числа , в которых (a+b) - четное. покажем что . зафиксируем цифры a и b и рассмотрим в суммах и слагаемых, запись которых заканчивается этимы цифрами. они имееют соответсвенно вид где четное, и , где нечетное,причем таких слагаемых в суммах и содержится поровну. для них имеем . обозначим через (соотвественно через ) сумму всех чисел , где и (p+q) - четное(соотвественно нечетное) поскольку , то сумма всех разностей равен . это правильно для произвольных a и b, итак, аналогично, получим, что . теперь вернемся к множествам а. пусть и - суммы чисел, которые пренадлежат к а, и имеют соотвественно четную и нечетную суммы цифр. поскольку, то имеем отсюда, и тогда , потому что ответ: 2.
Спасибо
Популярные вопросы