Есть вопросы?

Здесь Вы можете найти ответы на многие вопросы или задать свой вопрос!

Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння за початкових умов. у'' + 4 у' = 4х
Початкові умови
x0 = 0
y0 = 0
y'0 = 1

Посмотреть ответы (3)

Ответы

Ответ дал: hfdgddcju

Частное решение дифференциального уравнения:

$\boldsymbol{\boxed{y = \dfrac{x^{2} }{2} - \dfrac{x}{4} - \dfrac{5e^{-4x}}{16}+ \dfrac{5}{16}}}$

Примечание:

$L \ -$ преобразование Лапласа

Функция зависит от .

Прямое преобразование Лапласа (связь между оригиналами и изображениями):

$x \xrightarrow{ \ L \ } \dfrac{1}{p^{2}}$

По свойствам преобразования Лапласа:

Если $f(x) \xrightarrow{ \ L \ } F(p)$ , то $\alpha f(x) \xrightarrow{ \ L \ } \alpha F(p)$

Пошаговое объяснение:

y'' + 4y' = 4x; y(0) = 0; y'(0) = 1

Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения воспользуемся методом операционного исчисления, а именно преобразованием Лапласа:

$y \xrightarrow{ \ L \ } F(p)$

Дифференцирования оригинала:

$y' \xrightarrow{ \ L \ } pF(p) - y(0) = pF(p) - 0 = pF(p)$

$y'' \xrightarrow{ \ L \ } p^{2}F(p) - p\cdot y(0) - y'(0) = p^{2}F(p) - p \cdot 0 - 1 = p^{2}F(p) - 1$

$p^{2}F(p) - 1 + 4pF(p) = \dfrac{4}{p^{2}}$

$p^{2}F(p) + 4pF(p) - 1 = \dfrac{4}{p^{2}}$

$(p^{2} + 4p)F(p) = \dfrac{4}{p^{2}} + 1 \Longrightarrow F(p) = \dfrac{\dfrac{4}{p^{2}} + 1}{p^{2} + 4p} = \dfrac{\dfrac{p^{2} + 4}{p^{2}} }{\dfrac{p(p + 4)}{1} } = \dfrac{p^{2} + 4}{p^{3}(p + 4)}$

Раскладываем дробь на простейшие:

$\dfrac{p^{2} + 4}{p^{3}(p + 4)} = \dfrac{A}{p^{3}} + \dfrac{B}{p^{2}} + \dfrac{C}{p} + \dfrac{D}{ p + 4} = \dfrac{A(p + 4) + Bp(p + 4) + Cp^{2}(p + 4) + Dp^{3}}{p^{3}(p + 4)}=$

$= \dfrac{Ap + 4A + Bp^{2} + 4Bp + Cp^{3} + 4Cp^{2} + Dp^{3}}{p^{3}(p + 4)}=$

$= \dfrac{Cp^{3} + Dp^{3} + Bp^{2}+ 4Cp^{2} +Ap +4Bp + 4A}{p^{3}(p + 4)}=$

$= \dfrac{p^{3}(C + D) + p^{2}(B+ 4C) +p(A +4B) + 4A}{p^{3}(p + 4)}=$

$\left \{\begin{array}{l} C + D = 0 \\ B + 4C = 1 \\ A + 4B = 0\\ 4A = 4|:4\end{array} \right \ \left \{\begin{array}{l} C + D = 0 \\ B + 4C = 1 \\ 1 + 4B = 0\\ A = 1\end{array} \right \ \left \{\begin{array}{l} D = -C \\ 4C = 1 - B \\ 4B = -1|:4\\ A = 1\end{array} \right \ \left \{\begin{array}{l} D = -C \\ 4C = 1 - B|:4 \\ B = -0,25\\ A = 1\end{array} \right$

$\displaystyle \left \{ {{C = \dfrac{1 - B}{4} = \dfrac{1 + 0,25}{4} = \dfrac{1,25}{4} = 0,3125 } \atop {D = -C = -0,3125}} \right.$

$\dfrac{p^{2} + 4}{p^{3}(p + 4)} = \dfrac{1}{p^{3}} - \dfrac{0,25}{p^{2}} + \dfrac{0,3125 }{p} - \dfrac{0,3125 }{ p + 4} =$

$=\dfrac{1}{p^{3}} - \dfrac{1}{4p^{2}} + \dfrac{5 }{16p} - \dfrac{5 }{16(p + 4)}$

Таким образом $F(p) =\dfrac{1}{p^{3}} - \dfrac{1}{4p^{2}} + \dfrac{5 }{16p} - \dfrac{5 }{16(p + 4)}$

Выполним обратное преобразование Лапласа:

$F(p) \xrightarrow{ \ L^{-1} \ } y$

$\dfrac{1}{p^{3}} \xrightarrow{ \ L^{-1} \ } \dfrac{x^{2} }{2}$

$\dfrac{1}{p^{2}} \xrightarrow{ \ L^{-1} \ } x$

$\dfrac{1}{p} \xrightarrow{ \ L^{-1} \ } 1$

$\dfrac{1}{p + 4} \xrightarrow{ \ L^{-1} \ } e^{-4x}$

Тогда исходная функция равна:

$y = \dfrac{x^{2} }{2} - \dfrac{x}{4} - \dfrac{5e^{-4x}}{16}+ \dfrac{5}{16}$

Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння за початкових умов. у'' + 4 у' = 4х Початкові у

Спасибо

Ответ дал: Гость

260+180=440 км расстояние

Ответ дал: Гость

320: 16=20. 750: 50=15. 5400: 900=6. 56: (4*7)=56: 28=2. 56: (4*7)=(56: 4): 7=14: 7=2. 56: (4*7)=(56: 7): 4=8: 4=2.

Другие вопросы по: Математика

.(В2 одинаковых спальных вагонах поезда 120 мест. сколько мест в 7 таких вагонах? в 10 таких вагонах?)....

28.02.2019 12:30

1

Ребро куба уменьшили в 3 раза. в сколько раз уменьшился объем? !...

04.03.2019 10:50

2

Найдите с микрокалькулятора объём прямоугольного параллелепипеда по формуле v=abc...

07.03.2019 16:10

2

На первом тракторе работали 60 ч. на втором 55 ч. на втором израсходовали на 35 л. меньша горючего .чем на первом. сколько горючего израсходовали на каждом тракторе при одинаковой...

08.03.2019 06:40

3

Скорый поезд догонит товарный через 21 мин. найдите расстояние между ними, если скорость товарного 1.2 км/ч ,а скорого 1.5 км/ч?...

08.03.2019 09:00

2

Из пункта а в пункт в выехал грузовик. через 45 минут вслед за ним из пункта а выехал легковой автомобиль со скоростью на 15 км/час большей и через 3,25 часа догнал грузовик. найди...

08.03.2019 10:00

3

Знаешь правильный ответ?

Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння за початкових умов. у'' + 4 у' = 4х Початкові у...

Популярные вопросы

53. Для арифметической прогрессии (аn) найдите а4 + a10 + а13, если S = 34.А) 17 B) 18 C) 6D) 12E) 8...

20.07.2020 08:54

3

Монета подбрасывается 10 раз. Определить погрешность локальной теоремы Лапласа при определении вероятностей следующих событий: а) «герб» выпадет 2 раза; б) «герб» выпадет 5 раз....

20.07.2020 08:57

1

Самый запоминающийся эпизод в повести бежий луг?...

20.07.2020 09:01

3

решить задачу по механике . в долгу не останусь ...

20.07.2020 09:10

1

В всех квадратиках самое первое пример, нужно продолжить...

20.07.2020 09:33

2

«я - незанятой человек.» незанятой правильно написано?...

20.07.2020 09:43

3

Choose the best variant a, b, or c. There is an example (0) at the beginning. Talk with your (0) parents about the rules for using the Internet. Always (1) these...

20.07.2020 09:48

1

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AH и медианы AA1, BB1 и CC1. Найдите сумму периметра и длин диагоналей четырехугольника с вершинами в точках A1, B1, C1 и H, если...

20.07.2020 10:06

1

Неверно, что компонентом фенотипической дисперсии является...

20.07.2020 10:12

2

В треугольниках ABC и DEF равны пары сторон AB и DE, BC и EF, а также углы BAC и EDF. При каком дополнительном условии можно утверждать, что треугольники ABC и DEF равны? Выберите...

20.07.2020 10:15

1

Случайные вопросы