Математика 80 баллов Сколько натуральных (с единицы) чисел n среди первой 1000 таковы, что (n-1)! делится на n?

Указание. Существует всего чисел от 1 до 1000 включительно.
В качестве ответа введите число.

2) На доске в строку выписаны подряд все натуральные числа от 0 до 2020. Затем производится последовательность шагов: на каждом шаге под каждой парой чисел пишут их сумму, после чего исходную строку стирают. Так, например, после первого шага на доске оказывается написана строка из чисел 1, 3, 5 ... 4039. Процесс повторяют, пока на доске не останется одно число. Докажите, что это число делится на 2020.

1)Ясно, что  n = p  и n = 2p  при удовлетворяют условию, так как  (n – 1)!  не делится на p². 

  Легко видеть также, что 7! и 8! не могут делиться на 8² и 9² соответственно. 

  Докажем, что для остальных nчисло  (n – 1)!  делится на n². Пусть nимеет хотя бы два различных делителя. Среди чисел 1, ...,  n – 1  есть хотя бы  n/p – 1  число, кратное p. Если некоторое число p входит в разложения числа n в степени k, то  n/p – 1 ≥ 2pk–1 – 1 ≥ 2k – 1 ≥ 2k – 1.  Если n не имеет вид 2p, то хотя бы одно из написанных неравенств – строгое. Значит,  n/p – 1 ≥ 2k  и  (n – 1)! делится на p2k. Поскольку это верно при всех p, то  (n – 1)!  делится на n². 

  Пусть теперь  n = pk.  Тогда  n/p – 1 = pk–1 – 1.  При p ≥ 5,  либо  p = 3  и  k ≥ 3,  либо  p = 2  и  k ≥ 5,  это число не меньше 2k. Значит,  (n – 1)!  делится на n². 

  Случай  n = 16  разбирается непосредственно.

Пошаговое объяснение:

Не забудь подписку и сердичку