Тетрадь
гь задачи
4) Два поезда выехали с одной станции в одном
направлении. Первый поезд выехал на 2 чраньше
другого и движется со скоростью 40 км/ч, второй
поезд — со скоростью 80 км/ч.
Через сколько часов второй поезд догонит первый?
На каком расстоянии от станции отправления
второй поезд догонит первый?
Решение:
(км) в 2 действия ​

1) 120-66=54

2) 54: 9=6

находим   точки удовлетворяющие условию

dz/dx=0

dz/dy=0

частные производные от функции z равны

df/dx=d/dx(27x^2+9xy^2-27x+2y^3)=54x+9y^2-27

df/dy=d/dy(27x^2+9xy^2-27x+2y^3)=18xy+6y^2

приравниваем их к нулю и решаем систему

54x+9y^2-27=0

18xy+6y^2=0

из второго уравнения имеем

x=-y/3

подставив в первое уравнение получим

y^2-2y-3=0

решая это квадратное уравнение получим два корня

y1=-1

y2=3

при y1=-1 имеем x1=1/3

при y2=3 имеем x2=3

а также при y=0 x=0,5

таким образом получили три точки

м1=(1/3; -1)

m2(-1; 3)

m3(0,5; 0)

находим вторые производные

d/dx(df/dx)=d/dx(54x+9y^2-27)=54

d/dy(df/dx)=d/dy(54x+9y^2-27)=18y

d/dy(df/dy)=d/dy(18xy+6y^2)=18x+12y

далее для каждой точки m1 и m2 установим наличие экстремума

m1(1/3; -1)

a=d^2f/dx^2   |м1=54

b=d^2f/dx*dy   |м1 =18*(-1)=-18

c=d^2f/dy^2     |m1   =18*1/3+12*(-1)=-6

дискриминат=ac-b^2=54*(-)^2=-648 < 0

так как дискриминат меньше нуля, то точка m1 не имеет ни минимумов ни максимумов

m2(-1 ; 3)

a=d^2f/dx^2   |м2=54

b=d^2f/dx*dy   |м2 =18*3=54

c=d^2f/dy^2     |m2   =18*(-1)+12*3=18

дискриминат=ac-b^2=18*54-54^2=-1944< 0

так как дискриминат меньше нуля, то точка m2 не имеет ни минимумов ни максимумов

m3(0,5; 0)

a=d^2f/dx^2   |м3=54

b=d^2f/dx*dy   |м3 =18*0=0

c=d^2f/dy^2     |m3   =18*(0,5)+12*0=9

дискриминат=ac-b^2=54*9-0^2=486> 0

так как дискриминант > 0 и а> 0, то функция z имеет min в точке m3(0,5; 0)

zmin=27x^2+9xy^2-27x+2y^3=27*(1/2)^2+9*0,5*0^2-27*1/2+2*0^3=

27/4-27/2= -6,75