Внекотором государстве 10 городов и 21 автодорога, каждая из которых связывает какие-то два города. между устанавливается железнодорожное сообщение, исходя из принципа : железная дорога между двумя прокладывается тогда и только тогда, когда автомобильная дорога между этими отсутствует. сколько железных дорог будет построено?

Решение. рассмотрим произвольную дорогу n. эта дорога делит все города на две группы так, что из города одной группы нельзя проехать в город другой группы, не проезжая через n. пусть в одной группе a городов, тогда в другой 99 − a. но тогда по этой дороге проехали всего 2· a·(99 − a) раз. т.к. a и 99 − a разной четности, то 2· a·(99 − a) делится на 4. значит, и вся сумма делится на 4.

Пусть х - коэффициент пропорциональности. тогда первая сторона будет 6х см, вторая - 4х см, третья - 5х см. 6х+4х+5х=10,5, 15х=10,5, х= 0,7. первая сторона 0,7*6=4,2 см. вторая 0,7*4=2,8 см. третья 0,7*5=3,5 см.

1751: 5=350(ост 1), 5*350=1750+1=1751,

2930: 7=418(ост 4), 7*418=2926+4=2930,

1983: 9=220(ост 3), 9*220=1980+3=1983,

40202: 6=6700(ост 2), 6*6700=40200+2=40202