чтобы построить график функции , дадим независимой переменной несколько конкретных значений и вычислим (по формуле) соответствующие значения зависимой переменной . результаты запишем в таблицу: одна таблица для , другая – для .
построим найденные точки , , , , , на координатной плоскости и соединим их, при этом получим правую ветвь графика (см. рис. 1).
правая ветвь графика
рис. 1. правая ветвь графика
построим найденные точки , , , на координатной плоскости и соединим их, при этом получим левую ветвь графика (см. рис. 2).
левая ветвь графика
рис. 2. левая ветвь графика
объединим эти две ветви (см. рис. 3). это и есть график функции , его называют гиперболой.
гипербола
рис. 3. график функции (гипербола)
видно, что график состоит из двух частей. эти части называют ветвями гиперболы.
исследование графика
1. для (правая ветвь):
- при стремящемся к плюс бесконечности, стремится к нулю:
, , следовательно, ось – это горизонтальная асимптота.
асимптота (от греческого asimptotos – «») – прямая, к которой бесконечная ветвь кривой приближается неограниченно.
- при стремящемся к нулю, стремится к плюс бесконечности:
, , следовательно, ось – это вертикальная асимптота.
для (левая ветвь):
- при стремящемся к минус бесконечности, стремится к нулю:
, , следовательно, ось – это горизонтальная асимптота.
- при стремящемся к нулю, стремится к минус бесконечности:
, , следовательно, ось – это вертикальная асимптота.
2. для (правая ветвь)
возьмём любые две точки и , получим отрезок и дугу . дуга находится под отрезком, следовательно, изучаемая функция выпуклая вниз при.
для (левая ветвь)
возьмём любые две точки и , получим отрезок и дугу . дуга находится над отрезком, следовательно, изучаемая функция выпуклая вверх при (см. рис. 4).
исследование функции
рис. 4. исследование функции
напоминание
осевая симметрия (симметрия относительно прямой)
точки и симметричны относительно прямой , если она служит срединным перпендикуляром к отрезку (см. рис. 5).
осевая симметрия
рис. 5. осевая симметрия
центральная симметрия (симметрия относительно точки)
точки и симметричны относительно точки , если отрезок равен отрезку (см. рис. 6).
центральная симметрия
рис. 6. центральная симметрия
3. построим прямую . если перегнуть график исследуемой функции через эту прямую, то ветви совместятся. например, точка совместится с точкой . следовательно, прямая является срединным перпендикуляром к отрезку . таким образом, прямая – это ось симметрии графика (см. рис. 7).
ось симметрии гиперболы
рис. 7. ось симметрии гиперболы
4. точка с координатами – центр симметрии графика .
свойства функции при
мы рассмотрели свойства функции , эти же свойства сохранятся для функции при любом (см. рис. 8).
1. область определения функции – это множество всех действительных чисел, кроме .
2. числа и одного знака, следовательно:
при
при
3. функция не ограничена ни снизу, ни сверху. это следует из того, что
4. при функция убывает и является выпуклой вверх; при функция убывает и является выпуклой вниз.
5. точка – центр симметрии гиперболы.
6. прямая ось симметрии гиперболы.
график функции
рис. 8. график функции при
доказательство осевой симметрии гиперболы
дан график функции .
1. пусть – это любое значение аргумента из области определения. тогда на ветви гиперболы имеем точку .
2. пусть – это любое значение аргумента из области определения. тогда на ветви гиперболы имеем точку .
необходимо доказать, что произвольно выбранная точка симметрична точке относительно прямой (см. рис. 9).
иллюстрация к доказательству
рис. 9. иллюстрация к доказательству
доказательство
1. отметим на оси абсцисс точку , а на оси ординат – точку (см. рис. 10).
2. рассмотрим прямоугольные треугольники и . эти треугольники равны по двум катетам (; ). из равенства этих треугольников следует:
а) ;
б) ;
в) (так как прямая является биссектрисой координатного угла, а )
3. рассмотрим треугольник : он равнобедренный, прямая лежит на биссектрисе этого треугольника. известно, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, исходящая из угла, образованного равными сторонами, является также и высотой, и медианой. следовательно, прямая является срединным перпендикуляром к отрезку ; произвольно выбранная точка симметрична точке относительно прямой .
так как точки были выбраны произвольно, то и вся кривая симметрична относительно оси .
рис. 10. иллюстрация к доказательству
свойства функции при
при ветви гиперболы расположены во втором и четвертом координатных углах (см. рис. 11).
1. область определения функции – это множество всех действительных чисел, кроме .
2. числа и разного знака, следовательно:
при
при
3. функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
4. при функция возрастает и является выпуклой вниз; при функция возрастает и является выпуклой вверх.
5. точка – центр симметрии гиперболы.
6. прямая ось симметрии гиперболы.
график функции
рис. 11. график функции при
Популярные вопросы