Сколько простых чисел может оказаться среди десяти последовательных натуральных чисел

максимальное количество оказывается в ряде . это 2,3,5,7,11, то есть 5.

в ряде это 3,5,7,11,   то есть 4.

в ряде это 7,11,13, то есть 3.

в ряде это 23,29, то есть 2.

в ряде это 97, то есть 1.

в ряде простых чисел нет, то есть 0.

ответ: в ряде из 10 последовательных натуральных чисел может быть от 0 до 5 (включительно) простых чисел.

картинка с числами до 225 приложена. в ней зеленым отмечены простые числа. (1, кстати, не является простым числом, она красным отмечена)

пошаговое объяснение:

для начала заметим: числа m и n имеют одинаковый остаток при делении на k тогда и только тогда, когда разность m-n делится на k. покажем, что среди 10 последовательных чисел найдется такое, которое не делится на числа 2, 3, 5, 7. действительно, среди этих чисел пять делятся на 2. оставшиеся пять нечетных чисел можем записать как n, n+2, n+4, n+6, n+8, где n – самое маленькое из них. они разбиваются на три группы чисел, имеющих одинаковые остатки при делении на 3: {n, n+6}, {n+2, n+8} и {n+4}, поэтому среди них не более двух делятся на 3. при делении n, n+2, n+4, n+6, n+8 на 5 получается пять различных остатков, поэтому среди них ровно одно делится на 5. аналогично, среди этих чисел имеется не более одного, которое делится на 7. таким образом из исходного набора исключается не более 9 чисел, оставшееся число не делится на 2, 3, 5 и 7. оно и будет удовлетворять условию . действительно, пусть это число a и оно имеет общий делитель d> 1 с некоторым числом b из указанного набора. тогда модуль разности a и b делится на d (и на все простые делители числа d). но это невозможно, поскольку указанный модуль не превосходит 9, а все простые числа, меньшие 9, как уже было показано, не являются делителями числа a, а значит и d.