При каких значениях a и d прямая x=3+4t, y=1-4t, z=-3+t лежит в плоскости ax +2y - 4z+d=0? не кидайте из интернета непонятную картинку с решением, ее я уже видел. напишите своё решение и с объяснениями подробными, озолочу и душевно.

запишу параметрическое уравнение прямой

x=3+4t; 4t=x-3; t=(x-3)/4

y=1-4t; 4t=1-y; t=(1-y)/4

z= -3+t; t=z+3

(x-3)/4=(y-1)/-4=(z+3)/1-параметрическое уравнение прямой

ее направляющий вектор a(4; -4; 1)

если этот вектор лежит в плоскости с нормалью b(a; 2; -4), то скалярное произведение а и b должно равняться нулю, они перпендикулярны

4a-4*2+1*(-4)=0

4a-8-4=0; 4a=12; a=3

чтобы найти d, подставлю точку (3; 1; -3), через которую проходит прямая, в уравнение плоскости

3*3+2*1-4*(-3)+d=0

9+2+12+d=0

d=-23