Определите высоту правильной шестиугольной пирамиды, сторона основания которой равна a, а косинус двугранного угла при боковом ребре равен (-0,625)

дана правильная шестиугольная пирамида, сторона основания которой равна a, а косинус двугранного угла φ при боковом ребре равен (-0,625) или (-5/8).  

угол φ равен arc cos(-0,625) = 2,24592786   радиан или

128,6821875   градуса.

тангенс половины этого угла равен:

tg(φ/2) = √((1 - cos φ)/(1 + cosφ)) = √(1 - (-5/8))/(1 + (-5/8)) = √(13/3).

проведём короткую диагональ основания. она равна а√3.

середина её находится на середине половины длинной диагонали основания. половина длинной диагонали основания - это радиус описанной окружности вокруг основания и равна стороне основания.

из этой точки проведём перпендикуляр h к боковому ребру l.

h = ((a√3)/2)/tg(φ/2) = ((a√3/2)/(√13/√3) = 3a/2√13.

синус угла наклона бокового ребра к основанию равен:

sin α = h/(a/2) = (2*3a)/(2√13*a) = 3/√13.

отсюда находим тангенс угла α:

tg α = sin α/√(1 - sin²α) = 3/2 = 1,5.

отсюда высота пирамиды равна h = a*tg α = 1,5a.