На доске написаны пять натуральных чисел. оказалось, что сумма любых трёх из них делится на каждое из остальных. обязательно ли среди этих чисел найдётся четыре равных?

Берём сначала три числа  1,2,3 - сумма любых двух делится на третье.  добавляем к ним четвёртое число, равное их сумме.  1, 2,3,6.  точно так же можно построить 5, 6, ..n чисел, что сумма любых (n-1) делится на оставшееся.  действительно, если n-1 чисел, свойством, что любая сумма без одного делится на это одно,  то добавляем a_n= сумме всех a_k.  тогда сумма всех без последнего равна последнему, делится на него.  сумма всех без какого-то a_k =ak=a_1+a_2+..+a_n-a_k=a_1+a_2+..+a_(n-1)+a_1+a_2+..+a_(n-1)-ak=  =2*(сумма первых (n-1) без а_k)+a_k  так как (сумма первых (n-1) без а_k) делится на a_k, a_k делится на a_k, то и  cумма всех без какого-то a_k делится на a_k

1) 12+35=47 км- на теплоходе 2) 12+ 47=59 км- пешком ина теплоходе 3) 59+18=77 км-по железной дороге 4) 77-12=65 км ответ на 65 км.