Выпуклый многогранник имеет 8 вершин и 6 граней. найдите число ребер и изобразите его.

Пусть выпуклый многогранник имеет f граней, k ребер и е вершин. отделив от него какую-нибудь грань, получим многогранную поверхность р1. отделив от p1   грань, прилежащую к его краю, получим многогранную поверхность р2. продолжая этот процесс, получим через s шагов

поверхность ps  с числом

граней fs, ребер ks  и вершин es.

докажем индукцией по числу граней, равному

что

(1)

при

(то есть s = f— 1) равенство (1) верно, так как тогда

откуда

пусть (1) верно для

, докажем (1) для

разрежем

по ломаной, соединяющей две вершины, лежащие

на краю, образованной ребрами и не пересекающей себя. получим поверхности

соответственно с

гранями,

ребрами,

вершинами. так как

то

(2)

(3)

пусть n — число ребер разреза; тогда число его вершин n + 1. если сосчитать число ребер или вершин на

и результаты сложить, то каждое ребро или вершина разреза будут сосчитаны дважды; поэтому

кроме

того,

тогда, складывая (2) и (3), получим

то есть

и (1)

доказано для

тем самым (1) верно для любого fs.

в частности, при

(то есть при s=1) имеем

так как

то

1) 240+32=272 литра в 1 бочке

2) 272-15 = 257 литров во 2 бочке

3) 975-240-272-257= 206 литров кваса в 4 бочке

6- 2= 4 - литра воды в бидоне! 6 + 4 = 10 литров всего.