Пусть выпуклый многогранник имеет f граней, k ребер и е вершин. отделив от него какую-нибудь грань, получим многогранную поверхность р1. отделив от p1 грань, прилежащую к его краю, получим многогранную поверхность р2. продолжая этот процесс, получим через s шагов
поверхность ps с числом
граней fs, ребер ks и вершин es.
докажем индукцией по числу граней, равному
что
(1)
при
(то есть s = f— 1) равенство (1) верно, так как тогда
откуда
пусть (1) верно для
, докажем (1) для
разрежем
по ломаной, соединяющей две вершины, лежащие
на краю, образованной ребрами и не пересекающей себя. получим поверхности
соответственно с
гранями,
ребрами,
вершинами. так как
то
(2)
(3)
пусть n — число ребер разреза; тогда число его вершин n + 1. если сосчитать число ребер или вершин на
и результаты сложить, то каждое ребро или вершина разреза будут сосчитаны дважды; поэтому
кроме
того,
тогда, складывая (2) и (3), получим
то есть
и (1)
доказано для
тем самым (1) верно для любого fs.
в частности, при
(то есть при s=1) имеем
так как
то
Популярные вопросы