Участники одной школы писали тест. результатом каждого ученика является целое неотрицательное число . ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 73 . из-за того, что оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 5 , чему количество сдавших тест увеличилось. а) могло ли оказаться так, что после этого средний участников, не сдавших тест, понизился? б) могло ли оказаться так, что после этого средний участников, сдавших тест, понизился, и средний участников, не сдавших тест, тоже понизился? в) известно, что первоначально средний участников теста составил 90, средний участников, сдавших тест, составил 100, а средний участников, не сдавших тест, составил 75. после добавления средний участников, сдавших тест, стал равен 103, а не сдавших — 79. при каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

а) да, например, первый набрал 100  , второй 70, третий –  10. средний , не сдавших тест, первоначально был  (70+10)/2 = 40, а после добавления по 5 очков каждому участнику стало 105, 75 и 15, тогда средний , не сдавших тест, составил  15,  так как 75 достаточно для сдачи теста.

б)  в примере предыдущего пункта средний участников теста, сдавших тест, сначала был 100 , а после добавления стал  (105+75)/2 = 90  .

в)  судя по условию, здесь немного другое условие. ученик считается сдавшим тест, если он набрал 83 .

пусть из  n  участников сдали тест  a  участников, после добавления стало b  участников, сдавших тест. заметим, что средний после добавления составил (90n + 5n)/n = 95.

имеем два уравнения:

{ 90n  = 75(n  -  a) + 100a = 75n   - 75a + 100a = 75n + 25a

{ 95n  = 79(n - b) + 103b   = 79n - 79b + 103b = 79n + 24b

откуда  

{ 15n  = 25a, то есть 3n  = 5a

{ 16n  = 24b, то есть 2n  = 3b  

таким образом,  n  кратно 15, потому что делится на 3 и на 5.

покажем, что  минимальное n  = 15. пусть изначально 5 участников набрали по 74 , 1 участник — 80 и 9 участников по 100 .

тогда средний был (5*74+80+9*100)/15 = 1350/15 = 90, средний сдавших тест, был 100, а средний не сдавших тест, был (5*74+80)/6 = 450/6 = 75.

после добавления стало: 5 участников по 79 , 1 участник — 85 и 9 участников по 105 .

теперь средний участников всех участников стал (5*79+85+9*105)/15 = 1425/15 = 95, средний сдавших тест, стал равен (85+9*105)/15 = 1030/10 = 103, средний не сдавших тест, стал равен 79.

таким образом, все условия выполнены.