Т.к. ∠amb=∠bmc=∠cma=360/3=120 , то значит точка м - точка торричелли (точка треугольника, из которой все стороны видны под углом в 120°). 1) eсли построить на стороне bc треугольника abc внешним образом правильный треугольник a1bc, то точка м будет лежать на окружности, описанной около треугольника a1bc (∠bmc=120, ∠bа1c=60), с радиусом r1=bc/√3=9/√3. эта же окружность описана и около треугольника мвс, значит можно найти его площадь smbc=mb*mc*bc/4r1=mb*mc*√3/4. 2) точно так же строим на стороне ас равносторонний треугольник ав1с, для него r2=ac/√3=4/√3, smac=ma*mc*ac/4r2=ma*mc*√3/4. 3) aналогично на стороне ав построим треугольник ас1в, для него r3=ab/√3=6/√3, smab=ma*mb*ab/4r3=ма*мв*√3/4. 4) площадь треугольника авс находим по ф.герона sabc=√р(р-ав)(р-вс)(р-ас)=√9,5*3,5*0,5*5,5=0,25√1463, где полупериметр р=(ав+вс+ас)/2=(9+4+6)/2=9,5. 5) tакже площадь sabc=smbc+smac+smab, подставим: 0,25√1463=√3/4*(mb*mc+ma*mc+ma*mb), значит mb*mc+ma*mc+ma*mb=0,25√1463: √3/4=√1463/3. 6) теперь применим теорему косинусов: - для треугольника мвс вс²=мс²+мв²-2мс*мв*соs 120. cos 120=-1/2 81= мс²+мв²+мс*мв- для треугольника мас ас²=мс²+ма²-2мс*ма*соs 120. 16= мс²+ма²+мс*ма- для треугольника мав ав²=ма²+мв²-2ма*мв*соs 120. 36= ма²+мв²+ма*мв7) если все 3 выражения сложить, получится 81+16+36=мс²+мв²+мс*мв+мс²+ма²+мс*ма+ ма²+мв²+ма*мв133=2(мс²+ ма²+мв²)+(мс*мв+мс*ма+ма*мв)133=2(мс²+ма²+мв²)+√1463/3 мс²+ ма²+мв²=(133-√1463/3)/2≈(133-22,08)/2=55,46≈55
Спасибо
Популярные вопросы