Точка к лежит внутри острого двугранного угла и удалена на 7 см от его граней и на 14 см от ребра двугранного угла. найдите величину двугранного угла.

Точка к лежит в биссекторной плоскости двугранного угла. из точки к опускаем перпендикуляры ка и кв  к граням двугранного угла и ко  к его ребру (линии пересечения плоскостей. ясно, что ка=кв=7 см. получаем два прямоугольных треугольника као и кво с общей гипотенузой ко. синус острого угла аок (вок), против которого лежит катет 7 см  равен 7/14=0,5. значит острый угол равен 30 градусам. величина двугранного угла аов равна 30+30=60 градусов.

авсд -четырехугольник

ас пересекает вд в т.о,

пусть авсд трапеция, т.е. вс паралельна ад, значит δвос подобен δдоа (по трем углам), отсюда ао/од=ос/ов

ос=ас-оа=12

15/12=10/8

5/4=5/4, справедливо, значит авсд трапеция что и требовалось доказать

 

в треуг.авс угл вас=угол вса=(180-20): 2=160: 2= 80, как равные углы при основании в равнобедр. треуг. и по теореме о сумме сторон треуг.

угол оас=уголоса=80: 2=40 , т.к аф и ск - биссектрисы

по теореме о сумме сторон в треуг. уголаос=180-2*40=100 градусов