Дан куб ABCDA1B1C1D1, в котором Р, N, K, M – такие внутренние точки ребер соответственно A1B1, A1D1, DD1 и BB1, что прямые PM и NK пересекаются. При этом прямые NK и AD пересекаются в точке Z1 , прямые РМ и АВ – в точке Z2, прямые МК и ВD – в точке Z3 . Найдите длину отрезка Z2Z3 , если Z1Z2 = 8, Z1Z3 = 13.

чтоб авм - был равнобедренным треугольником необходимо и достаточно, чтобы точки а,в,м не лежали на одной прямой, расстояние от одной из точек к двум другим было одинаковым.

возьмем точку м. место точки равноудаленной от двух данных точек(у нас ам=вм) есть серединный перпендикуляр к отрезку соединяющим эти точки(к отрезку ав) - то есть пряммая, что проходит через середину отрезка ав, и точку м, перепендикулярно к отрезку ав - будет гмт третьей веришины равнобедренного треугольника.

возьмем точку а. тогда у нас ав=ам. место точки м будет круг с центром точке а и радиусом ав, исключая точку в, и точку в", лежащую на прямой ав, на расстоянии ав, отличной от точки в(в" симметричная точке в относительно точки а)

возьмем точку в.тогда у нас ав=вм. место точки м будет круг с центром точке в и радиусом ав, исключая точку а, и точку а", лежащую на прямой ав, на расстоянии ав, отличной от точки а(а" симметричная точке а относительно точки в)

пусть меньший катет равен х. тогда больший катет равен  √(676 - х²).

согласно формуле площади прямоугольного треугольника

х * √(676 - х²) / 2 = 120

х * √(676 - х²) = 240

х² * (676 - х²) = 57600

х⁴  - 676 * х² + 57600 = 0

рещив это, уравнение, как биквадратное, получаем

х₁ = 10      х₂ = 24

следовательно, меньший катет равен 10 см.

спочатку будуємо прямокутний трикутник авс за катетом на гіпотенузою.

потім знаходимо точку е, середину діагоналі ас, з'єднуємо точки в та е та продовжуємо ве на таку саму відстань. отримана точка d sы буде четвертою вершиною.

побудова грунтується на тому, що діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.

средняя линия треугольника равна половине длины соотвествующей стороны треугольника

поэтому стороны данного треугольника равны 2*5=10 дм, 2*7дм=14 дм, 2*10=20 дм

ответ: 10 дм, 14 дм, 20 дм