Прямая пересекает стороны ab и ac треугольника abc в точках p и m соответственно. найдите отношение площади треугольника apm к площади четырехугольника mcbp, если ap: pb=5: 4, am: mc=3: 5.

Вариант решения.  пусть s - площадь треугольника авс.  необходимо найти отношение площадей треугольника  арм и четырехугольника  врмс.  сделаем рисунок и соединим в и м отрезком вм.  отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований.  высота ∆ авм и ∆  авс одна и та же.  основания их относятся как ам : ас = 3 : (3+5)  ,     площадь ∆ авм равна 3/8 площади ∆ авс, т.е. ³/₈s  на том же основании площадь ∆ арм равна 5/9 площади ∆ авм ( у них одна и та же высота из м к ав) и равна   ⁵/₉ от  ³/₈s  площадь ∆ арм=¹⁵/₇₂s= ⁵/₂₄s площадь четырехугольника врмс равна  s(abc)  -  ⁵/₂₄(s(abc) = ¹⁹/₂₄  s( ∆  abc)  площади ∆  арм и четырехугольника врмс относятся как  (⁵/₂₄s) : ¹⁹/₂₄  s)= 5: 19

Площадь треугольника apm=1/2*5*3*sina площадь треугольника abc=1/2*(5+4)*(3+5)*sina площадь 4хугольника = s abc - s apm = 1/2*(5+4)*(3+5)*sina - 1/2*5*3*sina = 1/2*sina*(9*8-15) площадь треугольника apm / площадь 4хугольника = (1/2*15*sina)/(1/2*sina*(9*8-15)) = 15/(72-15) = 15/57

ac-основание

bd-высота, медиана

ad=1/2ac=12 см

проводим медиану к стороне ab, обозначим как cr

cr пересекается с bd в точке o, и делятся точкой пересечения в отношении 2: 1, считая от вершин a и > od=3 сантиметра

по т пифагора в треугольнике cdo находим co= 

cr=

 

 

90градусов-1/4 круга,т.е. длина окр=40пи*4=160 пи l=2пиr r=160пи/2пи=80 см