обозначим о - точка пересечения биссектрисы и медианы. пусть длина биссектрисы p, длина гипотенузы а, со = q, обозначим так же за ф половину угла с.
в силу того, что треугольник прямоугольный, медиана ам равна половине основания, и треугольник сма равнобедренный. угол мас = 2*ф, поэтому угол мос = 3*ф, угол амв = 4*ф.
применим теорему синусов к треугольнику мос
(a/2)/sin(3*ф) = q/sin(pi - 4*ф);
кроме того,
а*cos(2*ф) = p*cos(ф); (равно катету, который сторона угла вас)
отсюда (просто делим одно на другое)
2*cos(2*ф)*sin(3*ф) = (p/q)*cos(ф)*sin(4*ф); немного
sin(3*ф) = (p/q)*cos(ф)*sin(2*ф);
sin(ф)*(3 - 4*(sin(ф))^2) = (p/q)*2*(cos(ф))^2*sin(ф);
3 - 2*(1-cos(2*ф)) = (p/q)*(1+cos(2*ф));
cos(2*ф) = (p/q - 1)/(2 - p/q); покольку угол вса и есть 2*ф, то это ответ.
в случае, если p/q = 13/9 (так задано в условии),
cos(2*ф) = 4/5;
а, ну да, надо 3/4 будет
треугольник подобен простейшему пифагоровому (со сторонами 3,4,5)
если обозначить за d = q/(p - q); (то есть то самое отношение, которое по условию равно 9/4), то выражение для cos(2*ф) можно к виду
cos(2*ф) = 1/(d - 1);
что выглядит еще симпатичнее.
Популярные вопросы