Відомо що трикутник PAC=трикутнику DKF , PC=5см DK=7см , KF=6см. Знайдіть невідомі сторони трикутників PAC і DKF

решение: вм медиана, поэтому см=ам=ав\2

ав=2*см=2*ам

площадь треугольника abm равна 1\2*bm*ab*sin (abm)

площадь треугольника cbm равна 1\2*bm*bc*sin (cbm)

площадь треугольника abm равна 1\2*bm*ac*sin (bma)

площадь треугольника cbm равна 1\2*bm*ac*sin (bmc)

углы bma и bmc смежные, поєтому 

sin (bma)=sin (bmc), значит

площадь треугольника abm равна площадь треугольника cbm, значит

1\2*bm*ab*sin (abm)=1\2*bm*bc*sin (cbm)

ab*sin альфа=bc*sin бэтта

вс=аb*sin альфа\sin бэтта

площадь треугольника авс равна площадь треугольника abm+площадь треугольника свм

площадь треугольника авс равна

=1\2*bm*ab*sin (abm)+1\2*bm*bc*sin (cbm)=

=m\2*(ab*sin альфа+аb*sin альфа\sin бэтта)=

=ав*m\2*sin альфа*(1+1\sin бэтта)

площадь треугольника авс равна

=1\2*ab*bc*sin (abc)=1\2*ab*аb*sin альфа\sin бэтта*sin (альфа+бэтта)

отсюда

ав*m\2*sin альфа*(1+1\sin бэтта)=

=1\2*ab*аb*sin альфа\sin бэтта*sin (альфа+бэтта)

ав=m(1+1\sin бэтта)*sin бэтта\sin (альфа+бэтта)=

=m*(sin бєтта+1)\sin (альфа+бэтта)

ответ: m*(sin бєтта+1)\sin (альфа+бэтта)

согласно теореме синусов для треугольника abd

sin adb          sin bad    

=

      ab                        bd

в данном случае

    4 / 5            sin bad

=   ,    откуда  sin bad = 4 / √41

      √ 41                  5

угол  adb - тупой, угол  bad - острый, поэтому

cos adb = - √(1 - (4/5)²) = -3/5

cos bad = √(1 - (4/√41)²) = 5/√41

sin abd = sin(adb + bad) = sin adb * cos bad + cos adb * sin bad =

= 4/5 * 5/√41 + (-3/5) * 4/√41 = (20 - 12) / (5 * √41) = 8 / (5 * √41)

площади треугольников  abd  и  cbd  равны, поэтому площадь

параллелограмма  abcd

s = ab * bd * sin abd = 5 * √41 * (8 / (5 * √41)) = 8

согласно теореме пифагора

ав = √ (ас² + вс²) = √ (36 + 100) = √ 136 ,  поэтому

sin b = ac / ab = 10 / √ 136 = 5 / √ 34 ≈ 0,8575

пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b. тогда по теореме пифагора квадрат гипотенузы равен с^2=a^2+b^2.

по условию составляем систему уравнений и решаем ее

a+b=17

a^2+b^2=13^2=169

a=17-b

(17-b)^2+b^2=169

289-34b+b^2+b^2-169=0

2b^2-34b+120=0

b^2-17b+60=0

(b-5)(b-12)=0

b=5, a=17-5=12

или b=12    a=17-12=5

ответ: катеты равны 12 и 5